심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
소금물을 옮길 때는 소금의 양을 따라가며 농도를 식으로 나타낸다.
A비커에는 의 소금물 g, B비커에는 의 소금물 g이 들어 있다. A비커의 소금물 g을 B비커에 넣어 잘 섞은 후, 다시 B비커의 소금물 g을 A비커에 넣었다. 이때 A비커의 소금물의 농도를 , 에 대한 식으로 나타내시오.
비와 비율식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 농도는 그냥 더할 수 없지만 소금의 양은 더할 수 있습니다. 그래서 옮길 때마다 소금의 양과 소금물의 양을 따라가고, 마지막에만 농도로 바꿉니다.
1STEP 1
처음 옮긴 소금의 양
a% 소금물 100 g에는 소금이 a g 들어 있습니다. B비커의 100 g에는 소금이 b g 있습니다.
a/100×100=a, b/100×100=b
100 g의 a%는 정확히 a g입니다.
7.RP.A.3Analyze The Units2STEP 2
섞은 뒤의 B비커
B비커에는 소금물 200 g에 소금 (a+b) g이 있습니다.
(a+b)/200×100=(a+b)/2 (%)
같은 양을 섞었으니 두 농도의 평균입니다.
7.RP.A.3Analyze The Units3STEP 3
되돌려 넣는 소금의 양
50 g은 200 g의 1/4이므로 B비커 소금의 1/4이 옮겨 갑니다.
(a+b)/2×50/100=(a+b)/4
농도가 고르니 소금은 무게에 비례해 나뉩니다.
7.RP.A.3Identify SubproblemsB에서 다시 부은 g에는 B에 든 소금 전체의 이 들어 있다.
왜?
잘 저은 뒤에는 B의 소금물 g마다 같은 양의 소금이 들어 있으므로, 덜어 낸 양의 소금은 그 무게에 비례한다.
🧱비례하는 양은 함께 커진다두 양이 일정한 비를 유지하면 하나를 두 배 하면 다른 하나도 두 배가 되므로, 아는 비로 모르는 비를 대신할 수 있다.
왜?
g의 네 묶음이 g이므로 g은 B의 g의 이다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
왜?
그때 B에는 소금이 g 들어 있다.
왜?
퍼센트는 백 중 몇인지를 세므로 g의 는 소금 g이다.
🧱퍼센트는 백에 대한 개수어떤 것의 70퍼센트라는 말은 그것 백 개마다 70개라는 말이므로, 퍼센트는 분모가 100인 분수일 뿐이다.
왜?
섞어도 소금은 없어지지 않으므로 B의 소금은 원래 있던 g과 부어 넣은 g의 합이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
4STEP 4
A비커의 합계
A비커에는 a% 소금물 200 g(소금 2a g)이 남아 있었고, 여기에 50 g이 더해집니다.
(소금)=2a+(a+b)/4=(9a+b)/4, (소금물)=200+50=250
2a를 8a/4로 바꾸어 더합니다.
7.EE.A.1Convert To Algebra5STEP 5
다시 농도로
소금의 양을 전체 무게로 나누고 100을 곱합니다.
(9a+b)/4÷250×100=(9a+b)/10
100/(4×250)=1/10입니다.
7.EE.A.2Convert To Algebra정답
(9a+b)/10%
a=b이면 농도가 바뀌지 않아야 하는데, 실제로 (9a+a)/10=a입니다. 답은 a에 훨씬 큰 비중을 둔 a와 b의 가중평균이라서, A비커가 대부분 원래 소금물이라는 사실과 맞습니다.
핵심 정리
농도는 더할 수 없지만 소금의 양은 더할 수 있어요. 소금을 따라가세요!
- 처음 옮긴 소금의 양
- 섞은 뒤의 B비커
- 되돌려 넣는 소금의 양
- A비커의 합계
- 다시 농도로
다음은 어디로?
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같은 골격을 나중에 AMC에서는 이렇게 부릅니다: Arithmetic Expression Decomposition. 왜 같은 골격이 반복되는지 →