심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
한 미지수를 고정하면 개수가 규칙적으로 줄어든다.
합이 7인 자연수 순서쌍 (x, y, z)를 모두 셉니다. 순서가 다르면 다른 순서쌍이므로 (1, 2, 4)와 (4, 2, 1)은 따로 셉니다.
식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 미지수 세 개를 한꺼번에 나열하기는 어려우니 x의 값에 따라 작은 문제로 쪼갭니다. 각 경우에는 미지수가 2개인 y+z=n만 남고, 그 해의 개수에는 간단한 규칙이 있습니다. 경우를 빠짐없이 나열해 더하면 전체 개수가 나옵니다.
1STEP 1
x가 될 수 있는 값 찾기
y, z가 각각 1 이상이므로 y+z는 2 이상이고, 따라서 x는 7-2=5 이하입니다.
x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
미지수 하나를 고정하면 어려운 세기 하나가 쉬운 세기 여러 개로 바뀝니다.
6.EE.B.5Identify Subproblems2STEP 2
y+z=n의 해의 개수 세기
y+z=n의 자연수 해는 y=1, 2, …, n-1일 때마다 z가 하나씩 정해지므로 n-1개입니다. n=7-x이므로 6-x개입니다.
y+z=6: (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) → 5개
작은 경우 하나만 봐도 n-1이라는 규칙이 보입니다.
7.EE.B.4Look For A Pattern정해진 에 대해 을 만족하는 자연수 쌍은 정확히 개이다.
왜?
를 정하면 는 더 고를 수 없이 로 정해진다. 를 빼는 것이 를 더한 것을 되돌리기 때문이다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
왜?
가 이상이려면 는 이하여야 하므로, 하나하나가 쌍 하나씩과 짝지어지고, 쌍의 개수는 이 개의 수와 같다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
3STEP 3
경우별 개수 더하기
x=1부터 5까지의 개수를 나열하면 5, 4, 3, 2, 1입니다.
5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15
경우가 서로 겹치지 않으므로 그냥 더하면 됩니다.
6.EE.B.5Make A Systematic List정답
15
어느 미지수든 가장 클 때가 5이고(나머지 둘이 각각 1 이상), x가 1 커질 때마다 개수가 1씩 줄어드는 것이 5, 4, 3, 2, 1에 그대로 나타납니다. 작은 합이므로 15개는 알맞은 크기입니다.
핵심 정리
미지수 하나를 고정하고 남은 것을 센 다음, 경우를 모두 더하세요.
- x가 될 수 있는 값 찾기
- y+z=n의 해의 개수 세기
- 경우별 개수 더하기
다음은 어디로?
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