심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2

$xy$가 일정하므로 삼각형의 넓이는 점의 위치와 무관하다.

점 P로 반비례 관계식을 구하고, 제1사분면 곡선 위의 점 A를 (p, q)로 놓습니다. 선분 AB가 원점을 지나므로 B는 A와 원점에 대하여 대칭인 점이고, 직각삼각형 ABC의 두 변을 p, q로 나타낼 수 있습니다. 넓이는 pq만으로 정해집니다.

수 체계도형

내 답

풀이 과정

전략 관점 바꾸기 — A의 좌표를 찾는 대신, 그래프 위 모든 점에서 같은 값인 xy로 관점을 바꿉니다. 원점 대칭을 이용하면 삼각형의 두 변이 2p, 2q가 됩니다.

1STEP 1

상수 구하기

y=k/x에서 xy의 값이 상수 k입니다. 점 P를 이용합니다.

k = (-3) × (-1) = 3 → y = 3/x

2STEP 2

점의 좌표 나타내기

A=(p, q), pq=3이라 합니다. O와 A를 지나는 직선 y=(q/p)x는 곡선과 A의 원점 대칭점에서 다시 만납니다.

B = (-p, -q), C = (p, -q)

3STEP 3

두 변의 길이

AC는 q에서 -q까지 세로로, BC는 -p에서 p까지 가로로 놓여 있습니다.

AC = q - (-q) = 2q, BC = p - (-p) = 2p

4STEP 4

넓이 구하기

삼각형 ABC는 C가 직각인 직각삼각형입니다.

1/2 × 2p × 2q = 2pq = 2 × 3 = 6

모르는 p, q가 곱 pq로만 나타나고, 그 값은 알고 있습니다.

7.G.B.6Change Focus Count The Complement

A가 곡선 위 어디에 있든 삼각형 $ABC$ 의 넓이는 $2pq = 6$ 이다.

왜?

B는 A를 O를 중심으로 반 바퀴 돌린 점이므로 $B = (-p, -q)$ 이다.

왜?

$(-p) \times (-q)$ 는 부호가 같은 두 수의 곱이므로 $pq = 3$ 과 같고, $(-p, -q)$ 도 곡선 위에 있다.

🧱곱셈과 나눗셈의 부호음수를 곱하면 수가 0의 반대편으로 뒤집히므로, 두 번 뒤집으면 다시 양수 쪽이다: 0이 아닌 두 수의 곱과 몫은 부호가 같으면 양수, 다르면 음수이다 (0에는 부호가 없다).

왜?

O에서 $(-p, -q)$ 로 가는 것은 O에서 A로 가는 것을 거꾸로 한 것이라 세로와 가로의 비가 같으므로, $(-p, -q)$ 도 직선 OA 위에 있다.

🧱비례하는 양은 함께 커진다두 양이 일정한 비를 유지하면 하나를 두 배 하면 다른 하나도 두 배가 되므로, 아는 비로 모르는 비를 대신할 수 있다.

왜?

$x$ 축이 AC를 위쪽 $q$ 와 아래쪽 $q$ 로 나누므로 $AC = 2q$ 이고, $y$ 축도 BC를 같은 방식으로 나누므로 $BC = 2p$ 이다.

🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

왜?

삼각형은 C에서 직각이므로 넓이는 $\frac{1}{2} \times 2p \times 2q = 2pq$ 이다.

🧱삼각형의 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반삼각형 두 개를 맞추면 같은 밑변의 평행사변형이 되므로, 삼각형 하나는 밑변 곱하기 높이의 절반을 덮는다.

왜?

A가 $y = \frac{3}{x}$ 위에 있으므로 $pq = 3$ 이다.

왜?

곡선이 P를 지나므로 $k = (-3) \times (-1)$ 이고, 음수 두 개의 곱이라 $3$ 이다.

왜?

$y = \frac{3}{x}$ 에 다시 $x$ 를 곱하면 나눗셈이 되돌려지므로, 곡선 위의 모든 점은 $xy = 3$ 이다.

🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.

정답

구체적인 점으로 확인합니다. A(1, 3)이면 B(-1, -3), C(1, -3)이고 두 변이 2, 6이므로 넓이는 1/2 × 2 × 6 = 6입니다. A(3, 1)이어도 두 변이 6, 2로 넓이는 6입니다.

핵심 정리

y=k/x 위의 점이 정해지지 않았다면, 답에는 보통 xy = k만 필요합니다.

상수 구하기
점의 좌표 나타내기
두 변의 길이
넓이 구하기

다음은 어디로?

한 단계 위로추천

원점 대칭을 이용해 한 사분면만 세고 두 배 한다.

비슷해 보여도 달라요추천

먼저 직선이 어느 변을 지나야 하는지 넓이로 판정한다.

한 단계 아래에서 다지기추천

맞물린 톱니바퀴는 (톱니 수)×(회전수)가 같다.

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