문제
작은 각들이 모여 큰 각을 만든다.
한 직선 위의 한 점에서 여러 개의 반직선이 뻗어 나와, 이웃한 반직선 사이에 ①~⑤로 표시된 5개의 작은 예각이 나란히 만들어진다. 이웃한 작은 각들을 합치면 더 큰 각도 만들어진다. 이 그림에서 찾을 수 있는 예각(작은 것과 큰 것 모두)이 모두 몇 개인지 세어야 한다.
측정·데이터
내 답
개인가요?
조심 만들 수 있는 15개의 각 전부를 다 세기 쉽지만, 그중 90도보다 작은 것만 예각으로 세어야 한다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 이웃한 작은 각들을 이어 붙여 만들 수 있는 각을 빠짐없이 차례대로 나열한다(1개짜리, 그다음 2개짜리, 3개짜리 …). 합친 작은 각의 개수에 따라 묶음으로 정리한 다음, 그중 아직 예각으로 남을 만큼 작은 각만 골라 센다.
1STEP 1
1개짜리 작은 각 나열하기
①~⑤ 다섯 개의 각은 각각 하나씩 따로 있고 모두 예각이므로, 1개짜리 각 5개를 센다.
5 개의 예각(1개짜리)
각이란 두 반직선이 벌어진 정도이다. 이웃한 반직선 사이의 벌어진 틈 하나하나가 바로 각 하나이다.
4.MD.C.5Make A Systematic List2STEP 2
이웃한 두 각을 합친 각 나열하기
이웃한 두 각을 합치면 (①+②), (②+③), (③+④), (④+⑤)의 4개의 더 큰 각이 되고, 각각 약 72도라 아직 모두 예각이다.
(①+②),(②+③),(③+④),(④+⑤) → 4 개의 예각
각의 크기는 더할 수 있다. 두 각을 나란히 이어 붙이면 두 각의 크기를 더한 만큼 벌어진 하나의 각이 된다.
4.MD.C.7Make A Systematic List이웃한 두 작은 각을 이어 붙여 만든 각도 그 자체로 예각이므로, 이웃끼리 짝지은 각마다 예각이 하나씩 더 늘어난다.
왜?
이웃한 두 작은 각을 이어 붙이면 그 두 각을 더한 크기만큼의 큰 각 하나가 만들어진다.
왜?
두 작은 각은 빈틈도 겹침도 없이 바로 붙어 있어서, 둘이 함께 하나의 큰 벌어짐을 빠짐없이 채운다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
작은 각 둘을 더해도 여전히 직각보다 작은데, 다섯 각 모두가 하나의 평각을 나눠 가져야 하기 때문이다.
왜?
다섯 작은 각은 곧은 밑선 위에 나란히 놓여 있어서, 다섯이 다 합치면 정확히 180도가 되고 각 하나는 그중 작은 부분만 차지한다.
🧱평각은 180도직선 위에 나란히 놓인 각들은 언제나 180도를 채운다.
3STEP 3
더 길게 합친 각을 나열하고 따져 보기
세 개 이상 합치면 약 108도를 넘어 직각을 지나므로, 그렇게 길게 합친 3 + 2 + 1 = 6개는 예각이 아니어서 세지 않는다.
3 + 2 + 1 = 6 개는 90° 이상인 각
180도 반바퀴를 조각조각 계속 더해 가다 보면 각이 결국 직각에 이르고 그보다 더 커지므로, 어느 순간 예각이기를 멈춘다.
4.MD.C.7Identify Subproblems4STEP 4
예각의 개수 모두 더하기
예각은 1개짜리 5개와 두 개를 합친 4개이다.
5 + 4 = 9
남겨 둔 묶음들을 그저 모두 더해 주기만 하면 된다.
4.MD.C.7Make A Systematic List정답
9 개
5 + 4 = 9
각은 모두 15개(5 + 4 + 3 + 2 + 1)이다. 길게 합친 6개는 직각을 향해, 또 그것을 넘어서 벌어지므로, 가장 짧은 9개만 예각으로 남는 것이 자연스럽다. 9는 15보다 작으므로 당연히 말이 된다.
핵심 정리
각을 합친 조각의 개수별로 빠짐없이 나열한 뒤, 아직 직각보다 작은 것만 골라 세면 된다. 이미 알고 있는 4학년 각 감각이면 충분하다!
- 1개짜리 작은 각 나열하기
- 이웃한 두 각을 합친 각 나열하기
- 더 길게 합친 각을 나열하고 따져 보기
- 예각의 개수 모두 더하기
다음은 어디로?