문제
일정한 시간 동안 움직인 거리를 빠르기라고 한다.
수영이네 가족은 집에서 120 km 떨어진 할머니 댁까지 1시간에 60 km의 빠르기로 갔다가, 같은 120 km를 30분에 60 km의 빠르기로 돌아왔습니다. 다녀오는 전체 길에서 1시간에 몇 km를 달린 셈인지, 즉 전체 거리를 전체 시간으로 나눈 평균 빠르기를 구해야 합니다.
측정·데이터연산
내 답
km/h인가요?
조심 두 빠르기(60과 120)를 그냥 평균 내고 싶겠지만, 평균 빠르기는 전체 거리를 전체 시간으로 나눈 것이지 두 빠르기의 평균이 아닙니다.
풀이 과정
전략 단위 살펴보기 — 빠르기는 1시간에 몇 km라는 비율이므로, 단위를 살펴보면 먼저 '30분에 몇 km'를 '1시간에 몇 km'로 바꾸고, 각 구간의 시간을 구한 뒤, 전체 거리를 전체 시간으로 나눠야 함을 알 수 있습니다. 길을 갈 때와 올 때 두 구간으로 나누면 각 시간 계산이 간단해집니다.
1STEP 1
갈 때 걸린 시간 구하기
갈 때는 120 km를 1시간에 60 km의 빠르기로 가므로 2시간이 걸립니다.
120 ÷ 60 = 2 시간
한 시간에 60 km씩 가면 120 km는 그런 시간이 두 번이므로 간단한 나눗셈입니다.
3.OA.A.3Identify Subproblems2STEP 2
올 때의 빠르기를 1시간 기준으로 바꾸기
올 때는 30분에 60 km인데, 이는 1시간에 120 km인 셈입니다.
60 km / 30 분 = 120 km/h
30분짜리 반 시간 두 개가 한 시간이 되므로, 한 시간 거리는 반 시간 거리의 두 배입니다.
4.MD.A.2Analyze The Units3STEP 3
올 때 걸린 시간 구하기
올 때는 120 km를 1시간에 120 km의 빠르기로 가므로 1시간이 걸립니다.
120 ÷ 120 = 1 시간
한 시간에 120 km를 가면 120 km는 정확히 한 시간이 걸립니다.
3.OA.A.3Identify Subproblems4STEP 4
전체 거리와 전체 시간을 모아 나누기
왕복은 120 + 120 = 240 km, 전체 시간은 2 + 1 = 3시간입니다.
240 ÷ 3 = 80 km/h
평균 빠르기는 '전체적으로 1시간에 몇 km인가'를 묻는 것이므로, 모든 거리를 모든 시간으로 나눕니다.
4.MD.A.2Analyze The Units왕복 전체의 평균 속력은 전체 거리를 전체 시간으로 나눈 것이다.
왜?
평균 속력은 같은 전체 거리를 같은 전체 시간에 달리는 하나의 일정한 속력을 뜻하므로, 모든 거리를 모든 시간에 맞추는 일정한 속력이 무엇인지 묻는 것이다.
왜?
일정한 속력에서는 거리가 속력 곱하기 시간과 같으므로, 속력을 되찾으려면 거리를 시간으로 나눈다.
왜?
시속으로 나타낸 일정한 속력은 매 시간마다 같은 양의 거리를 더해 가는 것이므로, 여러 시간은 그 같은 크기 묶음이 그만큼 쌓인 것이다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
왜?
곱해서 거리를 만드는 것과 나눠서 속력을 되찾는 것은 서로를 되돌리는 반대 과정이다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
왜?
전체 거리와 전체 시간으로 나누는 까닭은 왕복이 빈틈도 겹침도 없이 이어 붙인 두 구간 그 자체여서, 모든 거리는 두 구간의 거리를 더한 것이고 모든 시간은 두 구간의 시간을 더한 것이기 때문이다.
왜?
빈틈도 겹침도 없이 이어 붙인 조각들은 다시 더하면 전체가 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
정답
80 km/h
240 km ÷ 3시간 = 80 km/h
두 빠르기는 1시간에 60 km와 120 km이므로 평균은 그 사이에 있어야 합니다. 80 km는 60과 120 사이이고, 느린 구간에 더 오래(2시간 대 1시간) 머물렀으므로 느린 쪽으로 치우치는데, 이것이 정확히 기대한 결과입니다.
핵심 정리
평균 빠르기는 두 빠르기를 그냥 평균낸 게 아니라, 모든 km를 모든 시간으로 나눈 거예요!
- 갈 때 걸린 시간 구하기
- 올 때의 빠르기를 1시간 기준으로 바꾸기
- 올 때 걸린 시간 구하기
- 전체 거리와 전체 시간을 모아 나누기
다음은 어디로?
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