심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
지수가 같은 두 거듭제곱이 같으면 밑끼리 같다.
어떤 수 는 의 밑과 지수를 각각 배한 수와 같고, 는 과 의 곱과 같다. 이때 를 에 대한 식으로 나타내시오. (단, )
식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 두 문장을 각각 S에 대한 식으로 옮긴 뒤, 지수법칙으로 둘 다 지수가 b인 거듭제곱 꼴로 맞춥니다. 지수가 같아지면 밑끼리 같다고 놓으면 됩니다.
1STEP 1
첫 번째 조건을 식으로
a^b의 밑을 3배하면 3a, 지수를 3배하면 3b입니다.
S=(3a)^(3b)
말을 그대로 기호로 옮긴 것입니다.
6.EE.A.2Convert To Algebra2STEP 2
지수 b가 드러나게 바꾸기
지수 3b를 3 × b로 보고 거듭제곱의 거듭제곱 법칙을 쓴 다음, 3a를 세제곱합니다.
(3a)^(3b)={(3a)³}^b=(27a³)^b
(3a)³=3³a³=27a³입니다.
8.EE.A.1Organize Information In More Ways3STEP 3
두 번째 조건을 식으로
지수가 같은 두 거듭제곱의 곱은 밑끼리 곱한 수의 거듭제곱으로 묶입니다.
S=a^b × x^b=(ax)^b
(ab)ⁿ=aⁿbⁿ을 거꾸로 쓴 것입니다.
8.EE.A.1Organize Information In More Ways4STEP 4
밑 비교하기
이제 S가 두 가지 b제곱으로 나타났습니다. 밑이 양수이고 b ＞ 0이면 밑이 클수록 거듭제곱도 크므로, 값이 같으려면 밑이 같아야 합니다.
(27a³)^b=(ax)^b → 27a³=ax
지수가 같고 값이 같으니 밑도 같습니다.
8.EE.A.1Convert To Algebra밑이 양수일 때 이면 이다.
왜?
지수 가 같은 양수이면 더 큰 양의 밑은 더 큰 거듭제곱을 주므로, 거듭제곱이 같으면 양의 밑 과 도 같아야 한다.
🧱지수가 자연수이면 밑이 클수록 거듭제곱도 크다같은 자연수 지수 n에 대해, 더 큰 양의 밑은 곱하는 n개의 수 하나하나가 더 크므로 a > b > 0이면 a^n > b^n이다; 그래서 양수 a, b에 대해 a^n = b^n이면 a = b이다.
5STEP 5
x 구하기
양변을 0이 아닌 a로 나눕니다.
x=27a³/a=27a²
a³ ÷ a=a³⁻¹=a²입니다.
8.EE.A.1Convert To Algebra정답
x=27a²
a=2, b=1로 확인해 봅니다. 첫 번째 조건에서 S=6³=216이고, x=27×2²=108이면 a^b × x^b=2×108=216이므로 일치합니다.
핵심 정리
지수가 같은 두 거듭제곱은 나란히 놓고 밑만 비교하면 됩니다.
- 첫 번째 조건을 식으로
- 지수 b가 드러나게 바꾸기
- 두 번째 조건을 식으로
- 밑 비교하기
- x 구하기
다음은 어디로?
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