문제
각도의 합이 360°보다 크면 원 1개의 넓이보다 넓다.
오각형의 각 꼭짓점에 반지름이 같은 부채꼴을 그려 색칠했습니다. 색칠한 부분의 넓이의 합을 구해야 합니다.
도형
내 답
풀이 과정
전략 관점 바꾸기 — 부채꼴의 반지름이 모두 같으므로, 한데 모으면 각이 그 합인 하나의 모양이 됩니다. 그 합은 오각형의 내각의 합이고 한 바퀴보다 크므로, 답은 원 하나보다 큽니다.
1STEP 1
부채꼴의 각 모두 더하기
각은 오각형의 다섯 내각이고, 오각형은 삼각형 세 개로 나뉘며 각 삼각형은 180도입니다.
180 × 3 = 540
각의 합은 540도입니다.
8.G.A.5Change Focus Count The Complement2STEP 2
그것이 원의 얼마인지 보기
원 한 바퀴가 360도이므로 540도는 원 한 바퀴 반입니다.
540 ÷ 360 = 1.5
조각들을 모으면 원 한 개 반이 됩니다.
8.G.A.5Identify Subproblems반지름이 같은 부채꼴은 각만 더하면 된다.
왜?
각 부채꼴의 모든 점은 자기 꼭짓점에서 같은 떨어져 있으므로, 다섯 부채꼴은 모두 크기가 하나뿐인 원의 조각이다.
🧱원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.
왜?
같은 원의 조각들은 크기를 바꾸지 않고 한데 모을 수 있고, 도만큼 모으면 원 하나가 된다.
왜?
조각을 밀거나 돌리면 자기 복사본에 꼭 포개지므로, 덮는 넓이는 그대로이다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
3STEP 3
원 하나의 넓이 구하기
부채꼴의 반지름이 모두 6 cm이므로, 이들이 속한 원의 반지름도 6 cm입니다.
6 × 6 × 3.14 = 113.04
원 하나는 113.04 cm²입니다.
7.G.B.4Draw A Diagram4STEP 4
그 한 배 반 구하기
원의 넓이에 부채꼴들이 이루는 원의 개수를 곱합니다.
113.04 × 1.5 = 169.56
색칠한 부분의 넓이는 모두 169.56 cm²입니다.
7.G.B.4Identify Subproblems정답
169.56 cm²
정오각형으로 확인합니다. 한 각이 540 ÷ 5 = 108도이고 108도 부채꼴 다섯 개는 113.04 × 108 ÷ 360 × 5로 다시 169.56 cm²입니다.
핵심 정리
반지름이 같은 부채꼴은 각만 더하면 됩니다. 그 합이 한 바퀴를 넘을 수도 있습니다.
- 부채꼴의 각 모두 더하기
- 그것이 원의 얼마인지 보기
- 원 하나의 넓이 구하기
- 그 한 배 반 구하기