심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2

잘못 본 소수를 분수로 되돌려 맞게 본 부분만 모은다.

어떤 기약분수를 소수로 나타내는데, 소현이는 분자만 맞게 보고

0.58\dot{3}

을, 은정이는 분모만 맞게 보고

0.8\dot{1}

을 얻었습니다. 잘못 읽은 두 분수도 기약분수였습니다. 처음 분수를 되찾아 순환소수로 나타냅니다.

수 체계

내 답

풀이 과정

전략 거꾸로 풀기 — 틀린 답 속에도 맞는 조각이 하나씩 들어 있습니다. 두 소수를 각각 기약분수로 거꾸로 되돌려, 소현이 것에서는 분자를, 은정이 것에서는 분모를 가져온 뒤 다시 소수로 바꿉니다.

1STEP 1

소현이의 소수 되돌리기

3만 순환하므로 583에서 58을 빼고, 9 하나와 0 두 개를 붙인 900으로 나눕니다.

0.58\dot{3}

= (583 - 58)/900 = 525/900 = 7/12

소현이가 읽은 분수도 기약분수였으므로 7/12이 바로 소현이가 읽은 분수이고, 분자 7이 처음 분수의 분자입니다.

8.NS.A.1Work Backwards

$0.58\overline{3} = \frac{583 - 58}{900} = \frac{7}{12}$ 이다.

왜?

이 수를 $N$ 이라 하면 $1000N = 583.33\ldots$ 과 $100N = 58.33\ldots$ 은 자리가 맞는 똑같은 $3$ 의 꼬리로 끝나므로, 둘을 빼면 꼬리가 지워지고 $900N = 583 - 58$ 이 남는다.

왜?

$10$ 을 한 번 곱할 때마다 모든 숫자가 한 자리씩 왼쪽으로 옮겨지므로, $100N$ 은 소수점 앞에 두 숫자 $5$ , $8$ 을 두고 $1000N$ 은 하나 더 옮겨 $583$ 을 둔다.

🧱자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.

왜?

$100N$ 에서는 순환하기 전의 두 숫자가 소수점 앞으로 나가 소수점 뒤에 $3$ 만 남고, $1000N$ 은 길이 $1$ 인 마디 하나만큼 더 옮긴 것이라 꼬리가 한 자리씩 똑같이 맞는다.

🧱주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.

왜?

$1000N$ 에서 $100N$ 을, $583.33\ldots$ 에서 $58.33\ldots$ 을 빼도 양쪽은 같고 맞춰진 꼬리는 지워지므로 $900N = 583 - 58$ 이 남는다.

🧱양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.

왜?

$\frac{525}{900}$ 의 분자와 분모를 $75$ 로 나누면 $\frac{7}{12}$ 이 되며, 이것은 같은 분수의 이름만 바꾼 것이다.

🧱분자와 분모를 함께 배로 하면 크기가 그대로분수의 분자와 분모에 같은 수를 곱하거나 나누면 이름만 바뀔 뿐이다 — 조각의 크기는 달라져도 가진 양은 그대로다.

2STEP 2

은정이의 소수 되돌리기

$0.8\dot{1}$ 은 1만 순환하므로 분모는 90입니다.

0.8\dot{1}

= (81 - 8)/90 = 73/90

3STEP 3

처음 분수를 만들어 소수로 바꾸기

맞는 분자와 맞는 분모를 합치면 7/90이고, 이는 기약분수입니다. 나누어 보면 0.0777…입니다.

7/90 = 0.0777… =

0.0\dot{7}

정답

0.0\dot{7}

거꾸로 확인하면

0.0\dot{7}

= 7/90입니다. 분자는 소현이의 7/12와, 분모는 은정이의 73/90과 일치하므로 이야기와 맞습니다.

핵심 정리

틀린 답 속에도 맞는 조각이 숨어 있으니, 거꾸로 되돌려 찾아내세요.

소현이의 소수 되돌리기
은정이의 소수 되돌리기
처음 분수를 만들어 소수로 바꾸기

다음은 어디로?

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