문제
되풀이되는 숫자를 알면 소수점 아래 자리 숫자를 구할 수 있다.
어떤 가분수의 분자를 27로 나눈 몫과 나머지를 알려 줍니다. 이 분수를 소수로 나타냈을 때 멀리 있는 소수 18째 자리의 숫자를 구해야 합니다.
수 체계
내 답
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 열여덟 자리를 손으로 나누는 사람은 없습니다. 되풀이되는 마디를 알고 나면 문제는 '18째 자리가 마디의 몇 번째인가'가 되고, 이는 나머지 문제입니다.
1STEP 1
분수 되찾기
분자는 나누는 수에 몫을 곱하고 나머지를 더한 값입니다.
27 × 1 + 13 = 40
그 분수는 40/27입니다.
6.NS.B.3Identify Subproblems2STEP 2
반복이 보일 때까지 나누기
40을 27로 나누면 1 다음에 4, 8, 1이 나오고, 같은 나머지가 돌아오면서 규칙이 다시 시작됩니다.
40 ÷ 27 = 1.481481…
481이라는 마디가 끝없이 반복됩니다.
7.NS.A.2Solve An Easier Related Problem3STEP 3
18째 자리가 마디의 어디인지 찾기
마디의 길이가 3이므로 18을 3으로 나눕니다. 나누어떨어지므로 18째 자리는 마디의 마지막 숫자입니다.
18 ÷ 3 = 6
마디의 셋째 숫자입니다.
7.NS.A.2Look For A Pattern소수 째 자리에는 반복되는 마디의 마지막 숫자가 온다.
왜?
숫자가 길이 인 고정된 마디로 되풀이되므로, 세 걸음마다 마디의 같은 자리로 돌아온다.
🧱주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.
왜?
은 마디 여섯 개가 꼭 맞고 남는 것이 없으므로, 째 자리는 마디의 끝에 딱 떨어진다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
4STEP 4
숫자 읽기
마디가 4, 8, 1이므로 셋째 숫자는 1입니다.
소수 18째 자리는 1입니다.
7.NS.A.2Look For A Pattern정답
1
몇 자리 직접 세어 봅니다. 1째부터 6째까지가 4, 8, 1, 4, 8, 1이므로 3의 배수 자리는 모두 1이고, 18도 그중 하나입니다.
핵심 정리
소수가 반복되면, 멀리 있는 자리의 숫자는 끝까지 나누는 문제가 아니라 나머지 문제입니다.
- 분수 되찾기
- 반복이 보일 때까지 나누기
- 18째 자리가 마디의 어디인지 찾기
- 숫자 읽기