심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
부등식 조건으로 세 수의 부호를 먼저 정하고, 같은 부호끼리 역수의 크기를 비교한다.
이 아닌 세 유리수 , , 에 대하여 , , , 일 때, 다음 수를 큰 것부터 차례대로 나열하시오.
수 체계
내 답
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 일을 두 부분으로 나눕니다. 먼저 불가능한 부호 조합을 지워 x, y, z의 부호를 정합니다. 그다음 다섯 수를 양수, 0, 음수로 나누고, 같은 부호끼리만 절댓값을 비교합니다.
1STEP 1
z가 가장 크다
x-z ＜ 0이므로 x ＜ z이고, z-y ＞ 0이므로 y ＜ z입니다.
부호가 무엇이든 z는 x, y보다 큽니다.
6.NS.C.7Identify Subproblems2STEP 2
부호 정하기
곱이 양수이면 음수는 0개나 2개입니다. 셋 다 양수면 x+y ＜ 0에 어긋나므로 음수가 둘이고, 가장 큰 z가 양수입니다.
z ＞ 0, x ＜ 0, y ＜ 0
모든 조건을 만족하는 부호는 음수 둘, 양수 하나뿐입니다.
7.NS.A.2Eliminate Possibilities는 양수이고 와 는 둘 다 음수이다.
왜?
음수 인수 하나마다 곱의 부호가 뒤집히고 두 번 뒤집으면 다시 양수이므로, 세 수의 곱이 양수이려면 음수인 인수가 없거나 정확히 두 개여야 한다.
🧱곱셈과 나눗셈의 부호음수를 곱하면 수가 0의 반대편으로 뒤집히므로, 두 번 뒤집으면 다시 양수 쪽이다: 0이 아닌 두 수의 곱과 몫은 부호가 같으면 양수, 다르면 음수이다 (0에는 부호가 없다).
왜?
셋 다 양수일 수는 없다. 그러면 는 보다 크고 는 보다 커서 과 어긋나기 때문이다.
🧱순서의 추이성첫째가 둘째보다 작고 둘째가 셋째보다 작으면 첫째는 셋째보다 작다 — 둘씩 비교한 것이 하나의 순서로 이어진다.
왜?
하나뿐인 양수는 여야 한다. 가 셋 중 가장 크기 때문이다.
왜?
은 , 은 라는 뜻이다. 양쪽을 같은 만큼 옮겨도 순서는 그대로이기 때문이다.
🧱둘을 같이 옮기면 차는 그대로두 점을 수직선에서 같은 거리만큼 밀면 둘 사이의 간격은 결코 변하지 않는다.
왜?
양수는 보다 위, 음수는 보다 아래에 있으므로 하나뿐인 양수는 나머지 둘보다 크고 가장 크다.
🧱순서의 추이성첫째가 둘째보다 작고 둘째가 셋째보다 작으면 첫째는 셋째보다 작다 — 둘씩 비교한 것이 하나의 순서로 이어진다.
3STEP 3
다섯 수를 부호로 나누기
x ＜ 0, x+y ＜ 0, z ＞ 0, x-z ＜ 0을 이용합니다.
-1/x ＞ 0, -1/(x+y) ＞ 0, -1/z ＜ 0, 1/(x-z) ＜ 0
양수 둘, 0, 음수 둘로 나뉩니다.
7.NS.A.2Identify Subproblems4STEP 4
두 양수 비교하기
y ＜ 0이므로 x+y ＜ x ＜ 0입니다. 그래서 x+y의 절댓값이 더 크고, 1을 더 큰 수로 나누면 더 작아집니다.
0 ＜ -x ＜ -(x+y) → -1/(x+y) ＜ -1/x
다섯 수 중 가장 큰 수는 -1/x입니다.
6.NS.C.7Identify Subproblems5STEP 5
두 음수 비교하기
x ＜ 0이므로 z-x ＞ z ＞ 0입니다. 1/(x-z) = -1/(z-x)이고 1/(z-x) ＜ 1/z입니다.
0 ＜ z ＜ z-x → -1/z ＜ -1/(z-x)=1/(x-z)
다섯 수 중 가장 작은 수는 -1/z입니다.
6.NS.C.7Identify Subproblems정답
-1/x, -1/(x+y), 0, 1/(x-z), -1/z
모든 조건을 만족하는 값 x=-1, y=-2, z=1을 넣어 봅니다(x+y=-3, x-z=-2, z-y=3, xyz=2). 다섯 수는 1, 1/3, -1, -1/2, 0이고, 큰 것부터 1, 1/3, 0, -1/2, -1이므로 구한 순서와 같습니다.
핵심 정리
부호 먼저, 크기는 나중에: 같은 부호끼리만 비교하면 됩니다.
- z가 가장 크다
- 부호 정하기
- 다섯 수를 부호로 나누기
- 두 양수 비교하기
- 두 음수 비교하기
다음은 어디로?
한 단계 아래에서 다지기추천
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