심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
식이 하나 모자라면 자리 숫자의 범위와 배수 조건으로 후보를 좁힌다.
두 자리 자연수 a, b가 a = b + 37, a는 3의 배수, b의 자리를 바꾼 수 = a - 19를 만족합니다. a, b를 구해야 합니다.
식·방정식연산
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — b를 자리 숫자로 나타내면 두 조건이 자리 숫자 사이의 관계 하나로 줄어듭니다. 그러면 후보가 여러 개 남으므로, 두 자리 수라는 범위로 후보를 나열하고 a가 3의 배수가 되는 것을 고릅니다.
1STEP 1
b를 자리 숫자로 나타내기
b의 십의 자리 숫자를 m, 일의 자리 숫자를 n이라 하면 b = 10m + n이고 자리를 바꾼 수는 10n + m입니다.
b = 10m + n, a = 10m + n + 37
자릿값을 쓰면 자리 바꾸기를 식으로 다룰 수 있습니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra2STEP 2
자리 바꾼 수의 조건 쓰기
자리를 바꾼 수는 a - 19, 즉 b + 37 - 19 = b + 18입니다.
10n + m = 10m + n + 18, 9n - 9m = 18, n = m + 2
두 자리 수의 자리를 바꾸면 차는 항상 9의 배수입니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra자리를 바꾼 수에 대한 조건 때문에 의 일의 자리 숫자는 십의 자리 숫자보다 크다.
왜?
자리를 바꾼 수는 이고 는 이므로, 자리를 바꾼 수는 , 곧 과 같다.
🧱같음의 추이성첫째가 둘째와 같고 둘째가 셋째와 같으면 첫째는 셋째와 같다.
왜?
십의 자리 숫자는 10의 개수를 세므로 는 이고 자리를 바꾼 수는 이다.
🧱자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
왜?
그래서 이고, 이것은 , 곧 가 된다.
왜?
양변에서 을 빼도 균형은 유지되고 이 남는다.
🧱양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
왜?
은 이 묶음인 것이므로 양변을 로 나누면 이다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
3STEP 3
범위 안의 후보 나열하기
a = b + 37 ≤ 99이므로 b ≤ 62이고, b ≥ 10입니다. n = m + 2이므로 b = 10m + m + 2입니다.
b = 13, 24, 35, 46, 57 → a = 50, 61, 72, 83, 94
다음 후보 b = 68이면 a = 105로 세 자리 수가 됩니다.
8.EE.C.8Make A Systematic List4STEP 4
3의 배수 고르기
a 후보의 각 자리 숫자의 합은 5, 7, 9, 11, 13입니다. 합이 3의 배수인 것은 72뿐입니다.
72 = 3 × 24
남은 조건 하나가 다섯 후보 중 하나를 골라 줍니다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities정답
a = 72, b = 35
72 - 35 = 37이고, 35의 자리를 바꾼 53은 72 - 19 = 53과 같으며, 72는 3의 배수이고 두 수 모두 두 자리 수입니다.
핵심 정리
식이 모자라면 숨은 범위(자리 숫자는 0~9, 두 자리 수)가 답을 정해 줍니다.
- b를 자리 숫자로 나타내기
- 자리 바꾼 수의 조건 쓰기
- 범위 안의 후보 나열하기
- 3의 배수 고르기
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같은 골격을 나중에 AMC에서는 이렇게 부릅니다: Branching State Enumeration, Casework by Position / Vertex Type, Small-Domain Constrained Search. 왜 같은 골격이 반복되는지 →