심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2

고정된 점을 지나며 도는 직선이 삼각형과 만나지 않으려면 기울기가 꼭짓점을 지날 때의 기울기 범위 밖에 있어야 한다.

직선 y=mx+1은 m에 관계없이 점 (0, 1)을 지납니다. 이 직선이 세 점 A(1, 2), B(3, 4), C(6, -1)로 이루어진 삼각형과 전혀 만나지 않는 기울기 m의 범위를 구합니다.

함수식·방정식

내 답

풀이 과정

전략 그림 그리기 — 삼각형과 회전의 중심 (0, 1)을 그립니다. 직선을 (0, 1)을 중심으로 돌리면 한 꼭짓점에서 삼각형에 처음 닿고 다른 꼭짓점에서 떨어집니다. 그러므로 (0, 1)과 세 꼭짓점을 잇는 기울기만 보면 되고, 직선의 기울기가 그중 가장 작은 값과 가장 큰 값 사이에 있을 때만 삼각형과 만납니다.

1STEP 1

회전의 중심 찾기

m의 값과 관계없이 x=0이면 y=1이므로 직선은 항상 (0, 1)을 지납니다.

2STEP 2

꼭짓점까지의 기울기

(0, 1)에서 각 꼭짓점까지의 기울기를 구합니다.

A: (2-1)/(1-0)=1, B: (4-1)/(3-0)=1, C: (-1-1)/(6-0)=-1/3

3STEP 3

만나는 범위 읽기

삼각형이 y축 오른쪽에 있어, 직선은 C의 -1/3부터 AB의 1까지, 즉 -1/3 ≤ m ≤ 1일 때만 만납니다.

만나는 경우를 먼저 구하고 나머지를 택합니다.

8.F.A.3Change Focus Count The Complement

직선이 삼각형과 만나는 것은 $-\frac{1}{3}\le m\le1$ 일 때, 그리고 그때에만이다.

왜?

$x=0$ 이면 $m\times0$ 은 $0$ 이고 $1$ 에 $0$ 을 더하면 $1$ 이므로, 이런 직선은 모두 $(0,1)$ 을 지나고 $m$ 을 바꾸면 그 점을 중심으로 돌기만 한다.

🧱덧셈의 항등원 (0)0을 더하면 아무것도 안 더한 것이라 수가 그대로 남는다.

왜?

직선이 어떤 점을 지난다는 것은 그 점의 좌표가 $y=mx+1$ 을 참으로 만든다는 뜻이므로, 기울기는 $(0,1)$ 에서 그 점까지의 기울기와 같아야 한다.

🧱해는 등식을 참으로 만든다해란 미지수 자리에 넣었을 때 양변의 값이 같아지는 수이다; 해라는 말의 뜻이 바로 그것이다.

왜?

삼각형은 $y$ 축 오른쪽에 있으므로 $(0,1)$ 을 중심으로 도는 직선은 삼각형을 쓸고 지나는 동안 수직을 지나지 않고, 삼각형과 만나는 직선은 정확히 $C$ 로 가는 기울기와 $AB$ 를 따라가는 기울기 사이, 곧 $-\frac{1}{3}$ 부터 $1$ 까지의 기울기를 가진 것들이다.

왜?

$(0,1)$ 의 오른쪽에 있는 점은 가로 변화량이 양수라 그것을 곱해도 순서가 그대로이므로, 그 점이 기울기 $m$ 인 직선보다 위에 있는 것은 $(0,1)$ 에서 그 점까지의 기울기가 $m$ 보다 클 때, 그리고 그때에만이다.

🧱부등식의 양변에 곱하기양변에 같은 양수를 곱하면 수직선 위의 간격이 늘어나거나 줄어들어도 순서는 그대로이고, 같은 음수를 곱하면 0을 중심으로 뒤집히므로 부등호 방향이 바뀐다.

왜?

$(0,1)$ 에서 세 꼭짓점까지의 기울기는 $1$ , $1$ , $-\frac{1}{3}$ 이므로, $-\frac{1}{3}\le m\le1$ 이면 꼭짓점 $A$ 는 직선 위나 그 위쪽에, $C$ 는 직선 위나 그 아래쪽에 있고, $m$ 이 이 범위 밖이면 세 꼭짓점이 모두 직선의 같은 쪽에 엄격하게 놓인다.

🧱순서의 추이성첫째가 둘째보다 작고 둘째가 셋째보다 작으면 첫째는 셋째보다 작다 — 둘씩 비교한 것이 하나의 순서로 이어진다.

왜?

각 변을 따라가면 변의 높이와 직선의 높이의 차가 한 걸음마다 같은 양씩 변하므로, 앞의 경우에는 변 $AC$ 가 직선에 닿고, 뒤의 경우에는 어느 변도 닿지 않으며 직선은 변을 건너지 않고는 삼각형 안으로 들어갈 수 없다.

🧱일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.

4STEP 4

나머지 범위

그 밖의 기울기에서는 직선이 삼각형과 만나지 않습니다.

정답

m ＜ -1/3 또는 m ＞ 1

m=2이면 y=2x+1은 x=1에서 3(A보다 위), x=3에서 7(B보다 위)이므로 삼각형 위로 지나갑니다. m=-1이면 y=-x+1은 x=6에서 -5(C보다 아래), x=1에서 0(A보다 아래)이므로 아래로 지나갑니다. m=0인 y=1은 변 BC와 만나므로 만나는 범위와 맞습니다.

핵심 정리

한 점을 중심으로 도는 직선은 도형의 꼭짓점만 확인하면 돼요.

회전의 중심 찾기
꼭짓점까지의 기울기
만나는 범위 읽기
나머지 범위

다음은 어디로?

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.