심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
덧셈 규칙에 작은 값을 넣어 함숫값을 차례로 쌓는다.
두 변수 , 가 모두 자연수일 때, 함수 는 두 조건 , 를 만족시킨다. 이때 의 값을 구하시오.
함수식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 규칙은 어떤 입력이든 더 작은 입력 두 개의 합으로 바꿔 줍니다. 그래서 일을 잘게 나눕니다. 1+1로 f(2), 2+1로 f(3), 3+2로 f(5)를 차례로 구하며, 매번 아는 값을 규칙에 대입합니다.
1STEP 1
f(2) 구하기
규칙에 a=1, b=1을 대입합니다.
f(2)=f(1)+f(1)+2×1×1=3+3+2=8
2=1+1이고, 두 값 모두 이미 알고 있습니다.
8.F.A.1Convert To Algebra2STEP 2
f(3) 구하기
규칙에 a=2, b=1을 대입합니다.
f(3)=f(2)+f(1)+2×2×1=8+3+4=15
새 값은 앞에서 구한 값으로 만들어집니다.
6.EE.A.2Convert To Algebra3STEP 3
f(5) 구하기
규칙에 a=3, b=2를 대입하면 곧바로 5에 닿습니다.
f(5)=f(3)+f(2)+2×3×2=15+8+12=35
5=3+2는 이미 구한 두 값을 쓰므로 f(4)는 구하지 않아도 됩니다.
6.EE.A.2Identify Subproblems는 한 번에 로 만들 수 있다.
왜?
규칙은 모든 자연수 쌍에서 성립하므로 , 일 때도 참이고, 이때 이다.
🧱모든 수에 성립하는 식은 어느 수에도 성립한다모든 수에 대해 성립하는 등식은 어떤 특정한 수를 넣어도 성립하므로, 0이나 1 같은 특별한 값을 넣어 숨은 값을 찾아도 된다.
왜?
오른쪽에는 과 만 쓰이는데, 이 둘은 이미 같은 규칙으로 에서 구했다.
왜?
구한 값은 그것을 만든 수와 같으므로, 이나 자리에 넣어도 등식은 그대로 참이다.
🧱같음의 추이성첫째가 둘째와 같고 둘째가 셋째와 같으면 첫째는 셋째와 같다.
4STEP 4
빼기
이제 차를 계산합니다.
f(3)-f(5)=15-35=-20
함숫값이 커지므로 f(5)가 f(3)보다 크고, 차는 음수입니다.
6.EE.A.2Identify Subproblems정답
-20
f(5)를 다른 길로 구해 봅니다. f(4)=f(2)+f(2)+2×2×2=8+8+8=24이고 f(5)=f(4)+f(1)+2×4×1=24+3+8=35로 같습니다.
핵심 정리
큰 입력을 작은 입력으로 쪼개는 규칙이라면, 아는 값에서부터 한 칸씩 쌓아 올리세요.
- f(2) 구하기
- f(3) 구하기
- f(5) 구하기
- 빼기
다음은 어디로?
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