심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
정사각형의 넓이를 이등분하는 직선은 반드시 두 대각선의 교점(중심)을 지난다.
오른쪽 그림과 같이 네 점 , , , 를 꼭짓점으로 하는 정사각형 의 내부의 한 점 을 지나는 직선 이 정사각형 의 넓이를 이등분할 때, 직선 의 방정식을 구하시오.
함수도형
내 답
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 정사각형을 그려 보면 중심 (2, 2)에 대하여 점대칭입니다. 중심을 지나는 직선은 정사각형을 똑같은 두 조각으로 나누고, 중심을 지나지 않는 직선은 넓이를 똑같이 나눌 수 없습니다. 그러므로 중심이 두 번째 점이 되고, 두 점으로 직선이 정해집니다.
1STEP 1
중심 찾기
정사각형의 두 대각선은 O(0, 0)과 B(4, 4)의 중점에서 만납니다.
((0+4)/2, (0+4)/2)=(2, 2)
중심은 정사각형을 반 바퀴 돌려도 제자리에 있는 점입니다.
6.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
직선이 중심을 지나야 하는 이유
중심을 지나는 직선만 정사각형을 똑같이 나누므로 직선 l은 (2, 2)도 지나야 합니다.
넓이를 직접 재는 대신, 모든 이등분선이 함께 지나는 점이 무엇인지 생각합니다.
6.G.A.1Change Focus Count The Complement정사각형의 넓이를 반으로 나누는 직선은 반드시 중심 를 지난다.
왜?
중심을 기준으로 반 바퀴 돌리면 정사각형이 자기 자신에 겹치고, 중심을 지나는 직선이 만든 한 조각이 다른 조각에 포개지므로 두 조각의 넓이는 같다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
중심을 지나지 않는 직선은 중심을 지나는 평행선과 띠 하나만큼 차이 나고, 그 띠는 한쪽에만 넓이를 더하므로 두 조각이 같을 수 없다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
두 점을 지나는 기울기
직선 l은 P(1, 3/2)과 (2, 2)를 지납니다.
(2-3/2)/(2-1)=1/2
두 점 사이의 y의 변화량을 x의 변화량으로 나눕니다.
8.F.B.4Convert To Algebra4STEP 4
y절편 구하기
y=(1/2)x+b에 x=2, y=2를 대입합니다.
2=1/2 × 2+b, b=1
기울기를 알면 한 점만으로 y절편이 정해집니다.
8.F.B.4Convert To Algebra정답
y=(1/2)x+1
x=0일 때 y=1(변 OC 위), x=4일 때 y=3(변 AB 위)입니다. 아래쪽 조각은 평행한 두 변이 1, 3이고 위쪽 조각은 3, 1이며 높이가 모두 4인 사다리꼴이므로 각각 넓이가 1/2×(1+3) × 4=8로 16의 절반입니다.
핵심 정리
점대칭인 도형의 넓이를 반으로 나누는 직선은 모두 그 중심을 지나요.
- 중심 찾기
- 직선이 중심을 지나야 하는 이유
- 두 점을 지나는 기울기
- y절편 구하기
다음은 어디로?
한 단계 아래에서 다지기추천
가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.