심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
최소공배수 조건으로 자연수 해의 후보를 좁힌다.
3x-2y=7의 자연수 해는 끝없이 많습니다. 그중 x와 y의 최소공배수가 7인 해를 찾아 x+y를 구합니다.
수 체계식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 가능성 지우기 — 방정식의 해를 하나씩 나열하면 끝이 없으니, 다른 조건부터 봅니다. 어떤 수든 자신의 공배수를 나누어떨어지게 하므로 x, y는 모두 7의 약수여야 합니다. 그러면 확인할 쌍이 네 개뿐입니다.
1STEP 1
최소공배수 조건으로 후보 좁히기
x와 y는 각각 두 수의 최소공배수 7의 약수입니다. 7의 약수는 1과 7뿐입니다.
x ∈ {1, 7}, y ∈ {1, 7}
최소공배수가 소수이면 각 수가 될 수 있는 값이 아주 적습니다.
6.NS.B.4Eliminate Possibilities와 의 최소공배수가 이므로 와 는 각각 또는 이어야 한다.
왜?
최소공배수는 두 배수 목록에 함께 처음 나오는 수이므로, 은 의 배수 목록에도 의 배수 목록에도 있다.
🧱공배수는 최소공배수의 배수뿐두 배수 목록에 함께 나타나는 수는 목록이 처음 일치하는 수의 배수뿐이므로, 그 사이의 어떤 수도 공유될 수 없다.
왜?
이 의 배수라는 것은 가 의 약수라는 뜻이고, 의 약수는 곱해서 이 되는 짝으로 나오는데 그런 짝은 하나뿐이다.
🧱약수는 짝을 이룬다약수는 저마다 짝을 함께 내주므로 둘씩 짝지어진다 — 자기 자신이 짝인 경우만 예외다.
2STEP 2
네 쌍을 방정식에 넣어 보기
각 쌍에 대해 3x-2y를 계산하면 7이 나오는 것은 (7, 7)뿐이고, 이 쌍의 최소공배수도 실제로 7입니다.
3 × 7 - 2 × 7 = 21 - 14 = 7
나머지 쌍은 3-2=1, 3-14=-11, 21-2=19가 되어 맞지 않습니다.
6.EE.B.5Make A Systematic List3STEP 3
두 값 더하기
x=7, y=7이므로 구하는 합은 다음과 같습니다.
x + y = 7 + 7 = 14
답이 하나로 정해집니다.
6.EE.B.5Convert To Algebra정답
14
다시 대입하면 3 × 7 - 2 × 7 = 7이고, 7과 7의 최소공배수는 7입니다. 두 조건을 모두 만족하므로 x+y=14입니다.
핵심 정리
해가 끝없이 많은 조건 대신, 후보가 몇 개뿐인 조건부터 쓰면 금방 끝납니다.
- 최소공배수 조건으로 후보 좁히기
- 네 쌍을 방정식에 넣어 보기
- 두 값 더하기
다음은 어디로?
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