문제
작은 도형들이 모여 큰 도형이 된다.
크기가 같은 단위 정사각형 11개로 만든 계단 모양 도형이다. 맨 윗줄은 3칸(13열), 가운뎃줄과 맨 아랫줄은 각각 4칸(14열)이며 모두 왼쪽을 맞추어 놓여 있다. 격자선을 따라 그릴 수 있는 모든 크기의 정사각형을 빠짐없이 세어야 한다.
도형연산
내 답
개인가요?
조심 단위 정사각형 11개에서 멈추면 안 돼요 — 격자 속에 숨어 있는 더 큰 2×2, 3×3 정사각형도 함께 세어야 해요.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 빠뜨리거나 두 번 세지 않으려면 크기별로 차례차례 센다(빠짐없이 나열하기): 먼저 1×1 정사각형, 그다음 2×2, 마지막으로 3×3. 크기별로 나누면 까다로운 세기 한 번이 쉬운 작은 문제 몇 개로 바뀌고, 격자를 그려 보면 큰 정사각형이 계단 모양 안에 실제로 들어가는지 확인할 수 있다.
1STEP 1
1×1 정사각형 세기
단위 칸 하나하나가 모두 1×1 정사각형이다. 도형은 정확히 11개의 단위 칸으로 이루어져 있으므로 1×1 정사각형은 11개이다.
3 + 4 + 4 = 11
각 줄의 칸 수를 더하는 것은 그림을 보며 셀 수 있는 3학년 덧셈이다.
3.OA.D.9Make A Systematic List2STEP 2
2×2 정사각형 세기
23행은 꽉 차 2×2 블록 세 개가 모두 들어가고(3개), 12행은 오른쪽 위 빈칸 때문에 3~4열 블록이 빠진다(2개).
2 + 3 = 5
작은 정사각형 4개를 모아 더 큰 정사각형 하나를 만드는 것이 바로 초등 기하의 '평면도형 합치기'이다.
1.G.A.2Identify Subproblems3STEP 3
3×3 정사각형 세기
13열은 세 줄을 모두 채워 3×3 블록이 들어가고, 24열은 비어 있는 오른쪽 위 칸이 필요하므로 3×3 정사각형은 1개이다.
1
격자 위에 3칸×3칸 상자를 그려 보면 왼쪽 블록만 계단 모양에 들어간다는 것을 한눈에 알 수 있다.
1.G.A.2Draw A Diagram4STEP 4
모든 크기를 더하기
전체 정사각형 수 = (1×1 개수) + (2×2 개수) + (3×3 개수). 도형이 세 줄 높이뿐이라 4×4 정사각형은 들어갈 자리가 없다.
11 + 5 + 1 = 17
크기별로 구한 부분합을 하나로 모아 더하는 것은 간단한 3학년 덧셈이다.
3.OA.D.9Make A Systematic List도형 안의 정사각형 총 개수는 1x1 정사각형 개수, 2x2 정사각형 개수, 3x3 정사각형 개수를 모두 더한 것이다.
왜?
그릴 수 있는 정사각형은 저마다 변의 길이가 하나뿐이므로, 크기별로 나누면 각 정사각형이 딱 한 묶음에만 들어가고 빠지는 것이 없다.
왜?
전체 모음을 빠짐도 겹침도 없이 여러 묶음으로 나누면, 각 묶음의 크기를 더해 전체 모음의 크기가 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
세 크기별 개수는 어떤 순서로 어떻게 묶어 더해도 하나의 정해진 합이 되므로, 11 + 5 + 1은 분명하게 정해진다.
왜?
더하는 순서를 바꿔도 합은 달라지지 않는다.
🧱덧셈의 교환법칙a에 b를 더하나 b에 a를 더하나 쌓이는 전체는 같다 — 순서는 합을 바꾸지 않는다.
왜?
세 수 중 어느 둘을 먼저 더하든 합은 달라지지 않는다.
🧱덧셈의 결합법칙세 무더기를 더할 때 어느 둘을 먼저 합치든 결과는 같다.
정답
17 개
11 + 5 + 1 = 17
작은 정사각형이 큰 정사각형보다 많아야 하는데 실제로 11이 5보다 크고 5가 1보다 커서 그림과 잘 맞는다. 겹치는 큰 정사각형까지 더하면 전체 17은 단위 칸 11개보다 많아야 하는데 그 또한 맞다. 도형이 세 줄 높이뿐이라 4×4 정사각형은 불가능하므로 더 큰 크기를 빠뜨리지 않았다.
핵심 정리
정사각형을 작은 것부터 큰 것까지 크기별로 차례차례 세면 하나도 빠뜨리지 않아요. 이게 바로 여러분이 이미 할 수 있는 3학년 사고예요!
- 1×1 정사각형 세기
- 2×2 정사각형 세기
- 3×3 정사각형 세기
- 모든 크기를 더하기