심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
해가 없으려면 $x$의 계수는 $0$, 상수항은 $0$이 아니어야 한다.
비례식 를 만족하는 가 존재하지 않을 때, 상수 의 값을 구하시오.
식·방정식비와 비율
내 답
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 작은 문제 둘로 나눕니다. 먼저 내항의 곱과 외항의 곱이 같다는 성질로 (…)x=(…) 꼴의 일차방정식을 만들고, 그다음 그런 방정식이 언제 해가 없는지 따집니다.
1STEP 1
비례식을 방정식으로
A:B=C:D에서 내항의 곱과 외항의 곱은 같습니다. 즉 B × C=A × D입니다.
a × 0.1(x-2)=0.2(x+1) × 4 → 0.1a(x-2)=0.8(x+1)
비례식은 두 비가 같다는 뜻입니다.
7.RP.A.2Identify Subproblems2STEP 2
소수 없애고 정리하기
양변에 10을 곱하고 전개한 뒤 x항을 모읍니다.
a(x-2)=8(x+1) → ax-2a=8x+8 → (a-8)x=2a+8
이제 px=q 꼴입니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra3STEP 3
해가 없을 조건
a-8 ≠ 0이면 양변을 나누어 해가 하나 생깁니다. 따라서 x의 계수는 0이고 우변은 0이 아니어야 합니다.
a-8=0, 2a+8 ≠ 0
0 × x는 늘 0이므로 0이 아닌 수와 같아질 수 없습니다.
8.EE.C.7Eliminate Possibilities방정식 의 해가 없으려면 이고 이어야 한다.
왜?
이 이 아니면 양변을 그것으로 나누어 곱셈을 되돌릴 수 있고, 가 정확히 하나 나온다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
왜?
이면 왼쪽은 로 어떤 에서도 이므로, 오른쪽이 이 아니면 절대 같아질 수 없고, 이면 모든 에서 같아진다.
왜?
는 를 묶음 만든 것이라 가 얼마든 아무것도 없다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
4STEP 4
a 구하기
a=8이고, 이때 2a+8=24 ≠ 0이므로 조건을 만족합니다.
a=8, 0 × x=24
방정식이 성립할 수 없게 됩니다.
8.EE.C.7Convert To Algebra정답
8
a=8이면 0.2(x+1) × 4=8 × 0.1(x-2), 즉 0.8x+0.8=0.8x-1.6입니다. 양변에서 0.8x를 빼면 0.8=-1.6이 되어 어떤 x에서도 거짓입니다.
핵심 정리
'해가 없다'는 것은 x가 모두 사라지고 0=24 같은 거짓 등식만 남는다는 뜻이에요.
- 비례식을 방정식으로
- 소수 없애고 정리하기
- 해가 없을 조건
- a 구하기
다음은 어디로?
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