심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
달라진 자료 값의 합과 자료의 개수를 구한다.
수강생 54명의 평균 나이가 34살인 강습에 6명이 새로 들어와 모두 60명이 되었고, 이때 평균 나이가 33살이 되었습니다. 새로 들어온 6명만의 평균 나이를 구하면 됩니다.
통계·확률
내 답
풀이 과정
전략 거꾸로 풀기 — 평균은 합을 사람 수로 나눈 값이므로 거꾸로 되돌릴 수 있습니다. 평균에 사람 수를 곱하면 새로 들어오기 전과 후의 나이의 합을 되살릴 수 있고, 두 합의 차이가 바로 새로 들어온 6명이 더한 나이입니다. 평균에서 합으로 거꾸로 거슬러 올라가면 '평균의 평균' 같은 헷갈리는 문제가 곱하기·빼기·나누기라는 쉬운 작은 문제들로 바뀝니다.
1STEP 1
처음 54명의 나이의 합
평균은 전체를 고르게 나눈 값이므로, 평균 나이에 사람 수를 곱하면 나이의 합을 되살릴 수 있습니다.
54 × 34 = 1836
모두가 정확히 34살이라고 보면 54명을 합친 나이는 34살이 54개, 즉 나이를 합친 총량은 나이가 같든 다르든 똑같습니다.
6.SP.B.5Work Backwards2STEP 2
새로 들어온 뒤 60명 전체의 나이의 합
이제 60명의 평균이 33살이므로, 같은 방법으로 전체 나이의 합을 되살립니다.
60 × 33 = 1980
새 평균 33살은 이미 모든 사람을 반영한 값이므로, 33살이 60개면 반 전체의 나이를 합한 값이 됩니다.
6.SP.B.5Work Backwards3STEP 3
새로 들어온 6명이 더한 나이의 합
전체 나이의 합을 바꾼 것은 오직 새로 들어온 6명뿐이므로, 그들의 나이의 합은 새 합에서 옛 합을 뺀 값입니다.
1980 - 1836 = 144
원래 있던 나이를 덜어내면, 남는 것이 바로 새로 들어온 사람들이 가져온 나이입니다.
6.SP.A.3Identify Subproblems새로 온 여섯 명의 나이를 합한 값은 새 합계에서 이전 합계를 뺀 것이다.
왜?
반 전체 나이 합계를 바꾼 것은 새 학생들이 들어온 일뿐이므로, 두 합계의 차이는 그들이 가지고 온 나이 그대로다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
합계는 평균에서 다시 만들어 낼 수 있다. 평균이란 그 합계를 무리에게 똑같은 몫으로 나눠 준 것이기 때문이다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
4STEP 4
새로 들어온 6명의 평균 나이
합친 144살을 6명에게 똑같이 나누면 새로 들어온 한 사람의 평균 나이가 나옵니다.
144 ÷ 6 = 24
평균은 똑같이 나눈 몫입니다. 144살을 6명에게 공평하게 나누면 한 사람당 24살이 됩니다.
6.SP.A.3Analyze The Units정답
24살
새로 들어온 사람들의 평균 24살은 원래 평균 34살보다 낮은데, 더 어린 사람들이 들어와 평균을 34살에서 33살로 끌어내렸으니 말이 됩니다. 합으로 확인하면 옛 합 1836살 + 새 합 144살 = 1980살이고, 1980 ÷ 60 = 33살로 문제에서 말한 새 평균과 일치합니다.
핵심 정리
모둠이 바뀐 뒤 평균을 다시 구할 때는, 각 평균을 다시 합으로 되돌리고(평균 × 개수), 두 합을 비교한 뒤, 그 차이를 똑같이 나누면 됩니다.
- 처음 54명의 나이의 합
- 새로 들어온 뒤 60명 전체의 나이의 합
- 새로 들어온 6명이 더한 나이의 합
- 새로 들어온 6명의 평균 나이
다음은 어디로?
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