심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
주어진 문자로 2^x, 3^x를 먼저 나타낸 뒤 조립한다.
, 일 때, 을 , 에 대한 식으로 나타내시오. (단, 은 이다.)
식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 12는 2와 3으로 이루어져 있으니 12^(3x)은 2^x와 3^x로 만들 수 있습니다. 먼저 이 두 재료를 a, b로 나타낸 뒤 12^(3x)을 조립합니다.
1STEP 1
3^x를 a로 나타내기
지수의 +2를 떼어 냅니다.
a=3^(x+2)=3^x×3²=9×3^x → 3^x=a/9
지수법칙으로 3^(x+2)=3^x×3²입니다.
8.EE.A.1Convert To Algebra2STEP 2
2^x를 b로 나타내기
지수의 +1을 떼어 냅니다.
b=2^(x+1)=2×2^x → 2^x=b/2
밑이 2일 때도 같은 방법입니다.
8.EE.A.1Convert To Algebra3STEP 3
12^(3x)을 재료로 쪼개기
12=2²×3을 쓰고 지수를 x 기준으로 묶습니다.
12^(3x)=(2²×3)^(3x)=2^(6x)×3^(3x)=(2^x)⁶×(3^x)³
2^(6x)=(2^x)⁶, 3^(3x)=(3^x)³입니다.
8.EE.A.1Identify Subproblems이다.
왜?
이므로 하나마다 두 개와 하나가 들어 있고, 개를 곱하면 가 개, 이 개이다.
🧱지수는 반복해서 곱한 횟수지수는 어떤 인수를 몇 번 썼는지만 기록하므로, 밑이 같은 두 거듭제곱을 곱하면 그 횟수를 더하기만 하면 된다.
왜?
들과 들을 따로 모아도 곱은 변하지 않는다.
🧱곱셈의 교환법칙a줄 b개와 b줄 a개는 같은 점 배열을 센다 — 가로세로만 바뀐다.
왜?
개는 개씩 묶음으로, 개는 개씩 묶음으로 다시 묶을 수 있다.
🧱곱셈의 결합법칙세 수를 곱할 때 어느 둘을 먼저 묶든 곱은 같다.
4STEP 4
대입하기
앞에서 구한 식으로 2^x, 3^x를 바꿉니다.
(b/2)⁶×(a/9)³=b⁶/64×a³/729
2⁶=64, 9³=729입니다.
6.EE.A.2Convert To Algebra5STEP 5
분모 합치기
64×729=2⁶×3⁶=6⁶이고, 문제에서 이 값이 46656이라고 했습니다.
a³b⁶/(2⁶×3⁶)=a³b⁶/(6⁶)=a³b⁶/46656
2⁶×3⁶=(2×3)⁶입니다.
8.EE.A.1Organize Information In More Ways정답
a³b⁶/46656
x=1로 확인합니다. a=27, b=4이고 12³=1728입니다. 식에 넣으면 (27³×4⁶)/46656=(19683×4096)/46656=80621568/46656=1728로 일치합니다.
핵심 정리
먼저 작은 재료(2^x, 3^x)를 주어진 문자로 나타내면, 그 재료로 만든 거듭제곱은 무엇이든 나타낼 수 있어요.
- 3^x를 a로 나타내기
- 2^x를 b로 나타내기
- 12^(3x)을 재료로 쪼개기
- 대입하기
- 분모 합치기
다음은 어디로?
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