문제
반복되는 수를 찾아본다.
1, 3, 8, 1, 3, 8, 1, 3, ... 은 일정한 마디가 반복되는 수열입니다. 반복되는 마디를 찾고, 처음 15개 수의 합을 구합니다.
연산
내 답
조심 이것은 15개 항 전체의 합을 묻는 것이지, 한 마디만의 합이 아닙니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 수열은 마디 1, 3, 8을 반복하므로, 마디를 찾고 15개 안에 마디가 몇 번 들어가는지(더 쉬운 작은 세기)를 센 뒤 마디의 합을 더합니다.
1STEP 1
반복되는 마디와 그 합 찾기
수들은 세 개씩 묶여 1, 3, 8로 반복됩니다. 한 마디의 합은 1 + 3 + 8 = 12입니다.
1 + 3 + 8 = 12
같은 세 수가 다시 돌아오는 것을 알아채면 마디와 반복되는 길이를 알 수 있습니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern2STEP 2
15개를 만드는 마디 수 세기
한 마디는 3개이고, 15개를 3개씩 묶으면 완전한 마디 5개가 되고 남는 것이 없습니다.
15 ÷ 3 = 5
15는 3의 배수이므로 15개가 완전한 마디 5개로 딱 나누어집니다.
3.OA.A.3Solve An Easier Related Problem3STEP 3
마디의 합 더하기
각 합이 12인 마디 5개이므로 전체는 5 × 12 = 60입니다.
5 × 12 = 60
같은 12씩 거듭되는 묶음은 곱셈으로 더하는 것이 가장 빠릅니다.
3.OA.A.1Look For A Pattern처음 15개 항을 모두 더한 값은 블록 합 12를 같은 크기로 다섯 묶음 만든 것과 같다.
왜?
처음 15개 항은 블록 1, 3, 8이 정확히 다섯 번 반복된 것이므로, 긴 덧셈은 다섯 개의 블록 합을 더하는 것으로 나뉜다.
왜?
규칙은 같은 블록 1, 3, 8을 끊임없이 반복하고, 15개 항은 세 항짜리 블록이 온전히 다섯 개 이어진 것이다.
왜?
15개 자리를 세 개씩 세면 딱 다섯 묶음이 채워지는데, 3이 든 다섯 묶음이 15가 되기 때문이다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
왜?
15개 항은 어느 항도 빠지거나 두 번 세지 않게 블록으로 나뉘므로, 다섯 개의 블록 합을 다시 더하면 15개 전체의 합이 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
모든 블록은 같은 수 1, 3, 8을 담고 있어 각 블록 합이 같은 값이고, 그 하나의 값을 다섯 번 더하는 것이 곧 5를 곱한다는 뜻이다.
왜?
같은 블록 합 다섯 개를 더한 것은 그 값을 다섯 묶음 만든 것과 같고, 이는 정확히 그 값의 5배다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
정답
60
5 × 12 = 60
15개가 각각 평균 4(마디 평균은 12÷3 = 4)라면 합은 약 60이 되어 정확히 들어맞습니다. 15는 3의 깔끔한 배수이므로 남는 마디가 없어 신경 쓸 것이 없습니다.
핵심 정리
반복되는 마디를 찾고, 몇 개 들어가는지 센 다음 곱하면 됩니다: (1+3+8)인 마디 5개는 그냥 5 × 12 = 60!
- 반복되는 마디와 그 합 찾기
- 15개를 만드는 마디 수 세기
- 마디의 합 더하기
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