심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
곱과 합의 부호로 음수의 개수를 먼저 정한다.
절댓값이 점점 커지는 세 정수의 합이 -7, 곱이 12입니다. 세 수를 구합니다.
수 체계연산
내 답
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 부호와 크기를 따로 생각합니다. 곱과 합의 부호로 음수가 몇 개인지 정해지고, 절댓값은 곱이 12인 서로 다른 세 자연수여야 하므로 두 경우뿐입니다. 그중 합이 맞는 것을 고릅니다.
1STEP 1
음수의 개수 정하기
곱이 양수이려면 음수가 0개 또는 2개여야 합니다. 음수가 없으면 합이 양수가 되어 -7이 될 수 없으므로, 음수 2개, 양수 1개입니다.
abc = 12 ＞ 0, a + b + c = -7 ＜ 0
음수를 하나 곱할 때마다 곱의 부호가 바뀝니다.
7.NS.A.2Identify Subproblems, , 중 정확히 두 개는 음수이고 하나는 양수이다.
왜?
음수 인수 하나가 곱의 부호를 한 번 뒤집고 두 번 뒤집으면 다시 양수이므로, 처럼 양수인 곱이 되려면 음수가 짝수 개, 곧 개나 개여야 한다.
🧱곱셈과 나눗셈의 부호음수를 곱하면 수가 0의 반대편으로 뒤집히므로, 두 번 뒤집으면 다시 양수 쪽이다: 0이 아닌 두 수의 곱과 몫은 부호가 같으면 양수, 다르면 음수이다 (0에는 부호가 없다).
왜?
음수가 없으면 세 양의 정수의 합은 이 아니라 양수이므로 그 경우는 빠지고, 음수가 두 개인 경우만 남는다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
2STEP 2
절댓값의 후보 나열하기
|a|, |b|, |c|는 곱이 12인 서로 다른 세 자연수입니다.
|a| × |b| × |c| = 12 = 1 × 2 × 6 = 1 × 3 × 4
{1, 2, 6}과 {1, 3, 4}뿐입니다. 1 × 1 × 12, 2 × 2 × 3은 같은 수가 겹칩니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List3STEP 3
합을 양수 하나로 나타내기
양수인 수의 절댓값을 p, 세 절댓값의 합을 S라 하면 나머지 두 수는 음수이므로 합은 p - (S - p)입니다.
p - (S - p) = 2p - S = -7
양수에서 두 음수의 크기를 빼면 합이 됩니다.
7.NS.A.1Convert To Algebra4STEP 4
두 경우 확인하기
{1, 2, 6}이면 S = 9이고 p = 1입니다. {1, 3, 4}이면 S = 8이라 p = 1/2이 되어 정수가 아닙니다.
S = 9: 2p - 9 = -7, p = 1; S = 8: 2p - 8 = -7, p = 1/2
양수의 절댓값은 1, 음수의 절댓값은 2와 6이므로 a = 1, b = -2, c = -6입니다.
7.NS.A.1Make A Systematic List정답
a=1, b=-2, c=-6
|1| ＜ |-2| ＜ |-6|, 1 + (-2) + (-6) = -7, 1 × (-2) × (-6) = 12로 세 조건을 모두 만족합니다.
핵심 정리
부호를 먼저, 크기는 나중에 정하면 짧은 목록 두 개로 끝납니다.
- 음수의 개수 정하기
- 절댓값의 후보 나열하기
- 합을 양수 하나로 나타내기
- 두 경우 확인하기
다음은 어디로?
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