심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
겹쳐서 생긴 도형의 변은 처음 도형들의 부분이다.
한 변이 12 cm인 정사각형과 세로가 9 cm인 직사각형을 겹쳐 놓되, 직사각형을 오른쪽으로 옮겨 놓았습니다. 정사각형은 위로 더 솟고 직사각형은 오른쪽으로 더 튀어나와 계단(ㄴ자) 모양 윤곽을 이룹니다. 두 도형의 넓이가 같을 때, 합쳐진 도형 전체의 둘레를 구하는 문제입니다.
측정·데이터
내 답
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 위치와 모양을 다루는 문제이므로 그림을 그리면 계단 모양 윤곽이 한눈에 보이고 어느 변이 바깥을 향하는지 알 수 있습니다. 풀이는 두 개의 작은 문제로 나뉩니다. 먼저 넓이가 같다는 조건에서 직사각형의 가로를 구하고, 그다음 바깥쪽 변을 모두 더합니다. 그림을 그리면 꺾인 윤곽이 가로로도 세로로도 큰 직사각형 하나만큼 딱 닿는다는 것이 보이므로, 둘레가 바깥을 감싸는 직사각형의 둘레와 같음을 알 수 있습니다.
1STEP 1
넓이가 같다는 조건으로 직사각형 가로 구하기
정사각형의 넓이는 12 × 12 = 144 cm²입니다. 직사각형은 넓이가 같고 세로가 9 cm이므로 가로는 144 ÷ 9 = 16 cm입니다.
12 × 12 = 144, 144 ÷ 9 = 16
직사각형의 넓이는 가로 × 세로이므로, 넓이와 한 변을 알면 나누어 다른 변을 구할 수 있습니다 — 3학년 넓이 개념입니다.
3.MD.C.7Identify Subproblems직사각형의 가로는 16 cm다.
왜?
직사각형은 정사각형과 같은 넓이를 덮어야 하고, 정사각형의 넓이는 12개가 든 줄 12개다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
왜?
그 같은 넓이를 높이 9 cm인 줄로 늘어놓으면, 가로는 그 줄 9개가 넓이를 꽉 채우게 하는 길이이고, 곱하기를 되돌리는 것이 나누기다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
2STEP 2
윤곽을 그려 전체 가로 길이 구하기
정사각형이 직사각형보다 왼쪽으로 3 cm 나와, 아래 폭은 3 + 16 = 19 cm다.
3 + 16 = 19
간단히 그려 보면 가장 왼쪽 점은 정사각형의 왼쪽 변, 가장 오른쪽 점은 직사각형의 오른쪽 변이므로 전체 가로는 두 조각을 더한 길이입니다.
3.MD.D.8Draw A Diagram3STEP 3
바깥쪽 변을 따라가며 모두 더하기
계단은 오른쪽으로 간 만큼 위에서, 위로 간 만큼 옆에서 되받으므로 둘레는 62 cm다.
(19 + 12) × 2 = 31 × 2 = 62
계단 모양 윤곽에서는 오른쪽으로 한 걸음 갈 때마다 위쪽 변이 그만큼 맞춰 주고, 위로 한 걸음 올라갈 때마다 옆쪽 변이 맞춰 주므로, 꺾인 변들이 바깥을 감싸는 직사각형과 같은 합이 됩니다.
3.MD.D.8Draw A Diagram정답
62 cm
이 도형은 가로(19 cm)가 세로(12 cm)보다 깁니다. 62 cm는 19 × 12 직사각형의 둘레이고, ㄴ자 모양은 그 직사각형 안에 네 변을 모두 닿게 딱 들어맞습니다. 그 직사각형의 둘레 (19 + 12) × 2 = 62 cm와 일치하므로 크기도 알맞고 단위도 길이의 cm로 맞습니다.
핵심 정리
ㄴ자 모양의 둘레는 그 도형을 감싸는 가장 작은 직사각형의 둘레와 같아요 — 계단이 가장자리로 밀려 들어맞기 때문이에요.
- 넓이가 같다는 조건으로 직사각형 가로 구하기
- 윤곽을 그려 전체 가로 길이 구하기
- 바깥쪽 변을 따라가며 모두 더하기
다음은 어디로?
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