심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
항등식은 양변에서 같은 차수의 항끼리 계수를 비교한다.
일 때, 의 값을 구하시오. (단, , , 는 상수)
A식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 왼쪽을 전개해 x의 차수별로 정리한 다음, 오른쪽의 같은 차수 항과 계수를 맞춥니다. 등식 하나가 작은 방정식 세 개로 바뀝니다.
1STEP 1
좌변 전개하기
3x와 A를 각각 (Bx+5)에 분배합니다.
3x(Bx+5)+A(Bx+5)=3Bx²+15x+ABx+5A
분배법칙을 두 번 쓰면 됩니다.
A-APR.A.1Identify Subproblems2STEP 2
차수별로 정리하기
x항 두 개를 모으고, x × x = x²으로 이차항을 만듭니다.
3Bx²+(15+AB)x+5A
이제 x의 각 차수가 한 번씩만 나옵니다.
A-APR.A.1Organize Information In More Ways3STEP 3
계수 비교하기
모든 x에 대해 같으므로 x²은 x²끼리, x는 x끼리, 상수항은 상수항끼리 계수가 같습니다.
3B=6, 15+AB=C, 5A=-10
등식 하나에서 식 세 개가 나옵니다.
6.EE.A.4Convert To Algebra모든 에 대해 이면 , , 이다.
왜?
와 를 로 모으면 왼쪽에 의 거듭제곱마다 항이 하나씩 남는다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
왜?
모든 에 대해 같은 두 다항식은 차수마다 계수가 같으므로 차수마다 방정식이 하나씩 나온다.
🧱같은 다항식은 계수끼리 같다모든 값에서 일치하는 두 다항식은 각 차수의 계수가 같아야 하므로, 항등식 하나가 평범한 방정식의 목록이 된다.
4STEP 4
작은 방정식 풀기
첫째와 셋째 식에서 B와 A가 바로 나오고, 그 값을 가운데 식에 넣으면 C가 나옵니다.
B=2, A=-2, C=15+(-2) × 2=11
쉬운 것부터 풀어 다음 식에 씁니다.
6.EE.A.4Convert To Algebra5STEP 5
세 수 더하기
세 상수를 더합니다.
A+B+C=-2+2+11=11
A와 B가 서로 지워집니다.
A-APR.A.1Identify Subproblems정답
11
값을 다시 넣어 보면 3x(2x+5)-2(2x+5)=6x²+15x-4x-10=6x²+11x-10이므로 C=11일 때 우변과 같습니다.
핵심 정리
두 다항식이 항상 같으면 항을 차수별로 맞춰 세우기만 해도 모르는 수가 하나씩 나옵니다.
- 좌변 전개하기
- 차수별로 정리하기
- 계수 비교하기
- 작은 방정식 풀기
- 세 수 더하기
다음은 어디로?
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