심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
공이 튀어 오르는 높이의 비율은 일정하다.
공은 항상 직전에 떨어진 높이의 5/6만큼 튀어 오릅니다. 처음에 24 m 높이에서 떨어뜨렸을 때, 세 번째로 튀어 오르는 높이를 구해야 합니다.
분수
내 답
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 튀어 오를 때마다 똑같은 일이 반복됩니다. 지금 높이에 5/6을 곱하는 것입니다. 이 반복되는 구조(패턴 찾기)를 알아채면, 쉬운 첫 번째 튀어 오름을 먼저 구한 뒤 같은 단계를 두 번 더 그대로 반복하면 됩니다. 단위는 계속 미터로 유지해 식이 맞는지 확인합니다.
1STEP 1
첫 번째 튀어 오름
공이 24 m에서 떨어진 뒤 그 높이의 5/6만큼 튀어 오릅니다. 24에 5/6을 곱합니다.
24 × 5/6 = (24 × 5)/6 = 120/6 = 20 m
어떤 높이의 분수만큼을 구하는 것은 곧 그 분수를 곱하는 것으로, 5학년에서 배우는 (분수)×(자연수) 계산입니다.
5.NF.B.6Solve An Easier Related Problem2STEP 2
반복되는 규칙 발견하기
튈 때마다 바로 앞 높이의 5/6를 잡으므로 규칙은 매번 × 5/6으로 되풀이된다.
튀는 높이 = 직전 높이 × 5/6
1보다 작은 5/6을 곱하면 높이가 매번 줄어들므로, 튀어 오르는 높이가 규칙적으로 점점 낮아집니다.
5.NF.B.5Look For A Pattern튀어 오를 때마다 공은 바로 앞에 닿았던 높이의 6분의 5까지 올라간다.
왜?
어떤 높이의 6분의 5를 잡는다는 것은 그 높이를 똑같이 여섯으로 나눠 다섯을 갖는 것이고, 이 규칙은 어느 높이에나 그대로 걸린다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
한 번 튀고 나면 공은 방금 닿은 높이에서 다시 떨어지므로, 그 새 높이에서 같은 규칙이 한 번 더 돌아간다.
왜?
한 번의 튐은 한 번 떨어졌다 한 번 오르는 것이라, 어떤 튐이 출발하는 높이는 바로 앞 튐이 닿은 높이 그대로다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
3STEP 3
두 번째 튀어 오름
첫 번째 높이 20 m에 규칙을 적용합니다.
20 × 5/6 = 100/6 = 50/3 m
수가 똑 떨어지지 않아도 5/6을 곱하는 같은 단계는 그대로 통하며, 분수 그대로 두면 됩니다.
5.NF.B.4Look For A Pattern4STEP 4
세 번째 튀어 오름
두 번째 높이 50/3 m에 규칙을 한 번 더 적용합니다.
50/3 × 5/6 = 250/18 = 125/9 = 13 8/9 m
분수끼리 곱할 때는 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱하며, 결과는 24에 5/6을 세 번 연달아 곱한 것과 같습니다.
5.NF.B.4Look For A Pattern정답
m (= m ≈ 13.89 m)
튀어 오른 높이 20 m, 약 16.67 m, 약 13.89 m가 꾸준히 줄어들고 각각 직전의 5/6 정도이므로 점점 낮아지는 패턴과 잘 맞습니다. 단위는 미터로 유지되고 답이 떨어뜨린 높이 24 m보다 훨씬 작으므로 타당합니다.
핵심 정리
튀어 오를 때마다 직전 높이의 5/6이니까, 계속 5/6을 곱하면 공은 매번 조금씩 덜 올라가요.
- 첫 번째 튀어 오름
- 반복되는 규칙 발견하기
- 두 번째 튀어 오름
- 세 번째 튀어 오름
다음은 어디로?
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