심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
원점 말고 다른 해가 있으면 두 직선은 같은 직선이다.
연립방정식 , 가 , 이외의 해를 가질 때, 상수 의 값을 구하시오.
식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 먼저 두 번째 식을 (…)x + (…)y = 0 꼴로 다르게 정리합니다. 두 식을 직선으로 떠올리면 둘 다 원점을 지납니다. 서로 다른 두 직선은 한 점에서만 만나므로, 또 다른 공통점이 있다면 두 직선은 같은 직선이고, 이것이 계수의 비례식이 됩니다.
1STEP 1
모든 항을 좌변으로 옮기기
두 번째 식의 우변을 0으로 만듭니다.
2x + y = kx → (2-k)x + y = 0
두 식의 모양이 같아져서 비교하기 쉽습니다.
8.EE.C.8Organize Information In More Ways2STEP 2
두 직선을 그려 보기
두 직선 모두 원점을 지나고, 다른 두 직선은 한 점에서만 만나므로 해가 또 있으려면 같은 직선이어야 합니다.
공통점 하나는 저절로 생기고, 하나가 더 있으면 전부가 공통이 됩니다.
8.EE.C.8Draw A Diagram이 아닌 공통의 해가 있으려면 두 방정식이 완전히 같은 직선이어야 한다.
왜?
두 직선은 이미 을 지난다. 와 에 을 넣으면 두 방정식 모두 양변이 으로 같아지기 때문이다.
🧱해는 등식을 참으로 만든다해란 미지수 자리에 넣었을 때 양변의 값이 같아지는 수이다; 해라는 말의 뜻이 바로 그것이다.
왜?
서로 다른 두 직선은 많아야 한 번 만나므로, 이 두 직선이 말고 또 한 점을 함께 지난다면 둘은 완전히 같은 직선이어야 한다.
🧱서로 다른 두 직선은 많아야 한 점에서 만난다두 점이 직선 하나를 정하므로 두 점을 함께 지나는 두 직선은 같은 직선이다; 서로 다른 직선은 한 번 만나거나, 평행하면 만나지 않는다.
3STEP 3
계수의 비를 같게 놓기
(…)x+(…)y=0 꼴의 두 식이 같은 직선이려면 x의 계수끼리, y의 계수끼리의 비가 같아야 합니다.
k/(2-k) = -3/1
같은 직선이란 한 식이 다른 식의 상수배라는 뜻입니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra4STEP 4
k 구하기
양변을 정리하여 k에 대한 일차방정식을 풉니다.
k = -3(2-k) = -6 + 3k → -2k = -6 → k = 3
일차방정식 하나로 마무리됩니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra정답
3
k=3이면 두 식은 3x-3y=0, 2x+y=3x이고 둘 다 y=x로 정리됩니다. 그러므로 원점 말고도 x=1, y=1 같은 해가 있습니다.
핵심 정리
같은 점을 지나는 두 직선이 또 한 점을 공유하면, 두 직선은 같은 직선입니다.
- 모든 항을 좌변으로 옮기기
- 두 직선을 그려 보기
- 계수의 비를 같게 놓기
- k 구하기
다음은 어디로?
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