심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2

분모 11을 99로 맞추면 두 자리 순환마디는 9의 배수다.

순환소수

0.\dot{x}\dot{y}

를 기약분수로 나타내면 z/11이고, x는 한 자리 홀수입니다. 가능한 자연수 z의 개수를 셉니다.

수 체계연산

내 답

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기 — 양쪽을 같은 분모 99로 맞추면 자연수에 대한 등식이 나옵니다. 두 자리 수 xy가 9의 배수라는 뜻이므로 각 자리 숫자의 합으로 빠르게 나열할 수 있습니다.

1STEP 1

양쪽을 분모 99로 맞추기

순환마디가 두 자리이면 분모는 99이고, z/11 = 9z/99입니다.

(10x + y)/99 = 9z/99 → 10x + y = 9z

두 자리 수 10x + y는 9의 배수여야 합니다.

8.NS.A.1Convert To Algebra

$0.\overline{xy} = \frac{z}{11}$ 은 $10x + y = 9z$ 라는 뜻이다.

왜?

$100$ 을 곱하면 끝없는 꼬리가 원래 수의 꼬리와 자리가 맞으므로, 원래 수를 빼면 꼬리가 지워지고 마디를 $99$ 로 나눈 $99N = 10x + y$ 가 남는다.

왜?

$100$ 을 곱하면 모든 숫자가 두 자리씩 왼쪽으로 옮겨지므로 $100N = xy.\overline{xy}$ 이고, 그 정수 부분 $xy$ 의 값은 $10x + y$ 이다.

🧱자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.

왜?

마디 $xy$ 는 소수점 바로 뒤에서 시작해 $2$ 자리마다 되풀이되므로, 정확히 $2$ 자리를 옮기면 $N$ 의 꼬리의 숫자마다 똑같은 숫자가 겹쳐 놓인다.

🧱주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.

왜?

양쪽에서 같은 $N$ 을 빼도 등식은 유지되고 겹친 꼬리는 빼면 모두 없어지므로, $100N - N = 99N = 10x + y$ 가 남는다.

🧱양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.

왜?

$\frac{z}{11}$ 의 분자와 분모에 $9$ 를 곱하면 $\frac{9z}{99}$ 이다.

🧱분자와 분모를 함께 배로 하면 크기가 그대로분수의 분자와 분모에 같은 수를 곱하거나 나누면 이름만 바뀔 뿐이다 — 조각의 크기는 달라져도 가진 양은 그대로다.

왜?

같은 크기의 $99$ 조각으로 나눈 두 양이 같으면 조각 수도 같으므로 분자가 같다.

🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.

2STEP 2

9의 배수 판정 이용하기

9의 배수는 각 자리 숫자의 합이 9의 배수인 수입니다. x ≤ 9, y ≤ 9이므로 x + y는 9 또는 18입니다.

x + y = 9 또는 x + y = 18

3STEP 3

홀수 x에 대해 나열하기

x + y = 9이면 (1, 8), (3, 6), (5, 4), (7, 2), (9, 0)이고, (9, 9)는 $0.\dot{9}\dot{9}$ = 1이라 뺍니다.

(x, y) = (1, 8), (3, 6), (5, 4), (7, 2), (9, 0)

4STEP 4

z 읽어 내기

순환마디를 9로 나누면 18, 36, 54, 72, 90에서 z = 2, 4, 6, 8, 10입니다. 모두 11의 배수가 아닙니다.

z = 2, 4, 6, 8, 10

정답

몇 개를 확인하면

0.\dot{3}\dot{6}

= 36/99 = 4/11,

0.\dot{9}\dot{0}

= 90/99 = 10/11로 모두 분모가 11인 기약분수입니다.

핵심 정리

분모 11은 곧 분모 99라서, 순환마디는 9의 배수여야 해요.

양쪽을 분모 99로 맞추기
9의 배수 판정 이용하기
홀수 x에 대해 나열하기
z 읽어 내기

다음은 어디로?

비슷해 보여도 달라요추천

잘못 본 소수를 분수로 되돌려 맞게 본 부분만 모은다.

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.