심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
세 직선이 삼각형을 만들지 못하는 경우는 두 직선이 평행하거나 세 직선이 한 점에서 만날 때이다.
서로 다른 세 직선 x-y=0, 2x+y=3, mx-4y=16이 삼각형을 만들지 못하게 하는 m의 값을 모두 찾습니다.
식·방정식함수
내 답
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 삼각형이 만들어지지 않는 경우를 빠짐없이 나열합니다. 어느 두 직선이 평행하거나(그 두 직선이 만나지 않음), 세 직선이 한 점을 지나는(세 꼭짓점이 한 점으로 모임) 경우입니다. m에 따라 움직이는 것은 직선 ③뿐이므로 ③을 나머지 두 직선, 그리고 두 직선의 교점과 비교합니다.
1STEP 1
기울기 꼴로 바꾸기
각 식을 y에 대하여 풀어 기울기를 읽습니다.
y=x, y=-2x+3, y=(m/4)x-4
기울기 꼴로 쓰면 평행한 직선을 바로 알아볼 수 있습니다.
8.F.A.3Convert To Algebra2STEP 2
경우 1: ③이 ①과 평행
평행한 두 직선은 기울기가 같고 y절편이 다릅니다(-4 ≠ 0).
m/4=1, m=4
평행한 두 직선은 만나지 않으므로 꼭짓점 하나가 없습니다.
8.EE.C.8Make A Systematic List3STEP 3
경우 2: ③이 ②와 평행
역시 기울기가 같고, y절편 -4와 3은 다릅니다.
m/4=-2, m=-8
①과 ②는 기울기가 달라 평행하지 않으므로 평행한 경우는 이 둘뿐입니다.
8.EE.C.8Make A Systematic List4STEP 4
경우 3: 세 직선이 한 점을 지남
①과 ②의 교점은 x=-2x+3에서 x=1, y=1입니다. 직선 ③이 점 (1, 1)을 지나야 합니다.
m × 1-4 × 1=16, m=20
셋째 직선이 나머지 두 직선의 교점을 지나면 세 꼭짓점이 한 점이 됩니다.
8.EE.C.8Draw A Diagram세 번째 직선이 을 지나면 세 직선은 삼각형을 만들 수 없다.
왜?
세 번째 직선도 을 지나면 모든 직선 쌍이 서로 다른 세 꼭짓점 대신 그 한 점에서 만난다.
왜?
은 , , 세 번째 직선의 식을 모두 참으로 만들므로 세 직선이 모두 그 점을 지난다.
🧱해는 등식을 참으로 만든다해란 미지수 자리에 넣었을 때 양변의 값이 같아지는 수이다; 해라는 말의 뜻이 바로 그것이다.
왜?
서로 다른 두 직선은 많아야 한 번 만나므로, 이 각 직선 쌍의 유일한 교점이 되어 세 꼭짓점이 그 한 점으로 모인다.
🧱서로 다른 두 직선은 많아야 한 점에서 만난다두 점이 직선 하나를 정하므로 두 점을 함께 지나는 두 직선은 같은 직선이다; 서로 다른 직선은 한 번 만나거나, 평행하면 만나지 않는다.
정답
m=-8, 4, 20
각 값을 확인합니다. m=4이면 y=x-4로 y=x와 평행하고, m=-8이면 y=-2x-4로 y=-2x+3과 평행하며, m=20이면 y=5x-4이고 5 × 1-4=1이므로 점 (1, 1)을 지납니다. 세 경우 모두 세 직선은 서로 다릅니다.
핵심 정리
세 직선이 삼각형을 못 만드는 경우는 딱 두 가지예요. 평행한 짝이 있거나, 셋이 한 점에서 만나거나!
- 기울기 꼴로 바꾸기
- 경우 1: ③이 ①과 평행
- 경우 2: ③이 ②와 평행
- 경우 3: 세 직선이 한 점을 지남
다음은 어디로?
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