문제
겹치는 부분의 수는 색 테이프의 수보다 1 작다.
길이가 9.5 cm인 색 테이프 10장을 한 줄로 이어 붙이는데, 이웃한 두 장이 1.5 cm씩 겹치도록 붙입니다. 이어 붙인 전체 띠의 길이를 구합니다.
자릿값
내 답
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 테이프를 한 줄로 그려 보면 겹치는(진한 색) 부분이 테이프와 테이프 사이에 들어가므로, 겹치는 부분의 수는 테이프 수보다 1 작다는 것을 알 수 있습니다. 그다음에는 두 개의 쉬운 작은 문제로 나뉩니다. 먼저 테이프 전체 길이를 더하고, 그다음 겹쳐서 두 번 세어진 길이를 빼면 됩니다. 계산 자체는 소수의 덧셈, 곱셈, 뺄셈입니다.
1STEP 1
그림으로 겹치는 부분의 수 세기
이은 자리는 테이프 사이에 있으니, 10장을 한 줄로 놓으면 겹침은 9군데뿐이다.
10 - 1 = 9 overlaps
테이프를 직접 그려 보면 이음매가 조각과 조각 사이에 생기므로, 겹치는 부분은 항상 조각 수보다 1 작다는 것이 한눈에 보입니다.
5.NBT.B.7Draw A Diagram테이프 10장을 한 줄로 이어 붙이면 겹치는 곳은 9군데다.
왜?
겹치는 곳은 이웃한 두 장이 만나는 자리마다 하나씩 생기고, 열 장을 한 줄로 놓으면 그런 자리가 아홉 군데다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
이어 붙인 길이는 테이프를 다 펼친 길이에서 겹쳐 가려진 만큼을 덜어낸 것이다. 겹친 곳은 두 겹이 되지만 완성된 띠에서는 한 번만 세기 때문이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
2STEP 2
겹치지 않았을 때의 전체 길이
먼저 테이프가 겹치지 않았다고 생각해 봅니다. 그러면 전체 길이는 9.5 cm짜리 10장을 모두 더한 것과 같습니다.
10 × 9.5 = 95 cm
'우선 테이프 전체부터'라고 문제를 쪼개면, 곱셈 한 번으로 끝나는 쉬운 부분을 먼저 해결할 수 있습니다.
5.NBT.B.7Identify Subproblems3STEP 3
겹쳐서 줄어드는 전체 길이
겹칠 때마다 1.5 cm가 가려지니 9 × 1.5 = 13.5 cm가 줄어든다.
9 × 1.5 = 13.5 cm
두 장이 붙는 곳마다 1.5 cm는 더해지지 않고 함께 쓰이므로, 겹치는 부분의 수만큼 그 길이를 한 번씩 빼야 합니다.
5.NBT.B.7Identify Subproblems4STEP 4
전체 길이에서 겹친 길이 빼기
실제로 이어 붙인 길이는 테이프 전체 길이에서 겹쳐서 줄어든 길이를 뺀 것입니다.
95 - 13.5 = 81.5 cm
이 규칙은 테이프가 몇 장이든 똑같이 통합니다. 전체 = (장수 x 한 장 길이) - ((장수 - 1) x 겹치는 길이)이므로 패턴이 깔끔하게 일반화됩니다.
5.NBT.B.7Look For A Pattern정답
81.5 cm
답 81.5 cm는 사용한 테이프 95 cm보다 조금 작은데, 겹쳐 붙이면 띠가 항상 짧아지므로 타당합니다. 단위도 문제에서 요구한 cm이고, 한 장이 이어 붙이면 약 8 cm의 새 길이를 더하는 10장이라는 점에서 크기도 합리적입니다.
핵심 정리
테이프가 겹칠 때 겹치는 부분의 수는 테이프 수보다 1 작으니, 전체 테이프를 더한 다음 함께 쓰인 부분을 한 번씩 빼면 됩니다.
- 그림으로 겹치는 부분의 수 세기
- 겹치지 않았을 때의 전체 길이
- 겹쳐서 줄어드는 전체 길이
- 전체 길이에서 겹친 길이 빼기