심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
순환소수를 분수로 바꾸고 소인수의 지수를 짝수로 맞춘다.
× A가 어떤 자연수의 제곱이 되도록 하는 가장 작은 자연수 A를 구합니다.
수 체계연산
내 답
풀이 과정
전략 다르게 정리하기 — 순환소수 상태로는 곱하기 어려우니 분수로 바꿉니다. 그다음 곱을 문자로 써 보면, 분모의 9는 약분되어야 하고 남은 소인수 2는 짝을 이뤄 지수가 짝수가 되어야 합니다.
1STEP 1
순환소수를 분수로 바꾸기
소수점 아래 한 자리가 순환하므로 9로 나눈 분수입니다.
= 2/9
이제 곱은 2/9 × A입니다.
8.NS.A.1Organize Information In More Ways2STEP 2
제곱이 될 조건을 문자로 쓰기
2A/9 = m²이려면 A = 9B이고, 2B = m²에서 m은 짝수, B는 2 × (제곱수)입니다.
A = 9B, 2B = m² → B = 2k² → A = 18k²
제곱수에서는 모든 소인수의 지수가 짝수이므로, 혼자 남은 2에 2가 하나 더 필요합니다.
4.OA.B.4Convert To Algebra가 제곱수가 되려면 가 에 제곱수를 곱한 꼴이어야 한다.
왜?
에는 이 없으므로 속의 두 개는 안의 과만 약분될 수 있고, 따라서 이다.
🧱모든 수의 소인수분해는 하나뿐수를 계속 인수로 쪼개면 어느 쪽부터 쪼갰든 언제나 같은 소수 묶음에 닿는다.
왜?
그러면 인데 제곱수에는 모든 소인수가 짝수 번 들어 있으므로 에는 가 홀수 번, 다른 소인수는 짝수 번 들어 있어야 하고 이다.
왜?
은 곱하기 이고 한 수의 소인수 묶음은 어떻게 쪼개도 같으므로 의 소인수 묶음은 의 묶음 두 벌이다.
🧱모든 수의 소인수분해는 하나뿐수를 계속 인수로 쪼개면 어느 쪽부터 쪼갰든 언제나 같은 소수 묶음에 닿는다.
3STEP 3
가장 작은 경우를 택해 확인하기
가장 작은 것은 k = 1일 때 A = 18입니다. 곱을 확인합니다.
2/9 × 18 = 4 = 2²
곱 4가 자연수의 제곱이므로 A = 18이 조건을 만족합니다.
8.NS.A.1Guess And Check정답
18
더 작은 후보는 안 됩니다. A는 9의 배수여야 하는데, A = 9이면 2/9 × 9 = 2로 제곱수가 아닙니다. 따라서 처음으로 되는 값이 18입니다.
핵심 정리
순환소수를 분수로 바꾸고, 소인수마다 짝을 맞춰 주면 제곱수가 됩니다.
- 순환소수를 분수로 바꾸기
- 제곱이 될 조건을 문자로 쓰기
- 가장 작은 경우를 택해 확인하기
다음은 어디로?
한 단계 아래에서 다지기추천
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