심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
연립방정식의 해를 a로 나타낸 뒤 모두 양수인 조건을 부등식으로 푼다.
연립방정식 의 해가 모두 양수일 때, 정수 의 개수를 구하시오.
식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 이 연립방정식은 대칭적입니다. 각 문자가 정확히 두 식에 들어 있으므로 세 식을 모두 더하면 x+y+z가 나오고, 그 합에서 각 식을 빼면 문자 하나씩이 남습니다. 그다음 양수 조건은 a에 대한 일차부등식 세 개가 됩니다.
1STEP 1
세 식 모두 더하기
좌변에서 x, y, z가 각각 두 번씩 나옵니다.
2(x+y+z)=6+10+a=16+a → x+y+z=8+a/2
세 문자의 합이 가장 먼저 구하기 쉬운 값입니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra세 방정식을 모두 더하면 가 된다.
왜?
각 식의 좌변과 우변은 같고, 같은 것에 같은 것을 더하면 두 합도 같게 유지된다.
🧱양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
왜?
, , 는 각각 세 식 중 정확히 두 식에 나오므로, 좌변을 더하면 각각이 두 번씩 들어 있어 의 두 배가 된다.
왜?
여섯 개의 항은 순서를 바꾸고 다시 묶어 두 개로 만들어도 합이 변하지 않는다.
🧱덧셈의 교환법칙a에 b를 더하나 b에 a를 더하나 쌓이는 전체는 같다 — 순서는 합을 바꾸지 않는다.
왜?
두 개, 두 개, 두 개를 모으면 두 묶음이다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
2STEP 2
문자 하나씩 구하기
세 문자의 합에서 처음 식을 하나씩 뺍니다.
x=(8+a/2)-10=a/2-2, y=(8+a/2)-a=8-a/2, z=(8+a/2)-6=2+a/2
어떤 문자가 빠진 식을 빼면 그 문자만 남습니다.
8.EE.C.8Identify Subproblems3STEP 3
양수 조건 세우기
각 식이 0보다 크다고 놓고 풉니다.
a/2-2 ＞ 0 → a ＞ 4, 8-a/2 ＞ 0 → a ＜ 16, 2+a/2 ＞ 0 → a ＞ -4
세 조건을 모두 만족해야 하므로 실제로 필요한 조건은 a ＞ 4와 a ＜ 16, 즉 4 ＜ a ＜ 16입니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra4STEP 4
정수 세기
4 ＜ a ＜ 16인 정수는 5, 6, …, 15입니다.
15-5+1=11
양 끝 4와 16은 포함되지 않습니다.
7.EE.B.4Make A Systematic List정답
11
양 끝을 확인합니다. a=5이면 x=1/2, y=11/2, z=9/2로 모두 양수이고, a=4이면 x=0, a=16이면 y=0이 되어 양수가 아닙니다. 따라서 5부터 15까지가 정확합니다.
핵심 정리
문자 a를 일단 수처럼 데리고 풀고, 마지막에 a가 무엇이어야 하는지 물어보세요.
- 세 식 모두 더하기
- 문자 하나씩 구하기
- 양수 조건 세우기
- 정수 세기
다음은 어디로?
한 단계 아래에서 다지기추천
가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.