심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
변하지 않는 부분과 변하는 부분을 구별한다.
다음과 같이 성냥개비로 정오각형을 만들고 있습니다. 정오각형을 개 만들려면 필요한 성냥개비는 몇 개일까요?
성냥개비로 만든 정오각형을 옆으로 이어 붙여 한 줄로 늘어놓은 모양이다. 첫 번째 정오각형은 성냥개비 개로 이루어지고, 정오각형을 하나씩 더 이어 붙일 때마다 이웃한 정오각형과 한 변을 공유하므로 성냥개비가 개씩 늘어난다.
연산
내 답
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 그림은 같은 과정을 반복합니다. 처음 정오각형 하나, 그다음부터는 +4씩 늘어나죠. 바로 패턴 문제입니다. 변하지 않는 부분(처음 5개)과 변하는 부분(정오각형 하나 늘 때마다 더해지는 4개)을 구분하고, 작은 경우 몇 개로 규칙을 확인한 뒤 20개에 적용하겠습니다.
1STEP 1
작은 경우로 규칙 찾기
오각형 1개는 5개, 2개는 9개, 3개는 13개가 들고, 하나 늘 때마다 4개씩 더 든다.
5, 9, 13, 17, … (+4 each step)
가장 작은 경우부터 직접 세어 보면 어린 학생도 +4 규칙을 짐작이 아니라 눈으로 확인할 수 있어요.
4.OA.C.5Solve An Easier Related Problem2STEP 2
변하지 않는 부분과 변하는 부분 구분하기
첫 오각형의 5개는 변하지 않고, 뒤따르는 19개가 저마다 4개씩 더한다.
total = 5 + 4 × (number of pentagons - 1)
그대로 있는 부분과 늘어나는 부분에 이름을 붙이면 그림이 깔끔한 식 하나로 바뀝니다.
5.OA.A.2Look For A Pattern한 줄에 쓰인 성냥개비는 첫 오각형의 5개에, 그 뒤 오각형마다 4개씩을 더한 것이다.
왜?
첫 번째 뒤에 오는 오각형은 이미 서 있는 변에 붙여 만들므로 5개가 아니라 4개만 새로 필요하다.
왜?
한 줄의 성냥개비는 첫 오각형의 5개와 뒤따르는 오각형이 새로 가져온 것들을 합한 것이고, 맞닿은 변은 두 번이 아니라 한 번만 센다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
뒤따르는 오각형은 저마다 똑같이 4개씩 가져오므로, 더해지는 부분은 4가 든 같은 묶음 그 개수만큼이다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
3STEP 3
정오각형 20개를 넣어 계산하기
뒤의 19개가 4 × 19 = 76개를 더하고, 여기에 고정된 5개를 더한다.
5 + 4 × 19 = 5 + 76 = 81
규칙을 식으로 적어 두면 답은 곱셈 한 번, 덧셈 한 번으로 끝납니다.
4.NBT.B.5Look For A Pattern정답
81개
정오각형마다 따로 성냥개비 5개씩 쓴다면 20개에는 100개가 필요합니다. 이어 붙일 때마다 한 변(성냥개비 1개)을 공유하므로 19개가 줄고, 100 - 19 = 81개로 답과 일치합니다. 성냥개비 개수이므로 100보다 조금 작은 자연수가 나오는 것이 타당합니다.
핵심 정리
변하지 않는 부분(처음 5개)과 늘어나는 부분(새 도형마다 4개)을 나누면 긴 패턴도 빠른 계산 하나로 풀려요.
- 작은 경우로 규칙 찾기
- 변하지 않는 부분과 변하는 부분 구분하기
- 정오각형 20개를 넣어 계산하기
다음은 어디로?
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