심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
절댓값 부등식을 풀고 a의 부호로 나누어 해의 양 끝을 맞춘다.
부등식 를 만족시키는 의 값의 범위가 일 때, 정수 , 의 값을 각각 구하시오. (단, )
수 체계식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — a의 부호에 따라 두 개의 작은 문제로 나눕니다. 각 경우에 양 끝 값을 맞추면 a, b에 대한 일차방정식 두 개가 나오고, 그 결과가 처음 가정한 부호와 맞는 경우만 남깁니다.
1STEP 1
절댓값 기호 없애기
|ax+1| ≤ b는 ax+1이 -b와 b 사이에 있다는 뜻입니다. 각 변에서 1을 뺍니다.
-b ≤ ax+1 ≤ b → -b-1 ≤ ax ≤ b-1
절댓값이 b 이하라는 것은 0으로부터의 거리가 b 이하라는 뜻입니다.
6.NS.C.7Convert To Algebra는 과 정확히 같은 말이다.
왜?
은 수직선에서 이 에서 떨어진 거리이므로, 그 거리가 이하라는 것은 이 의 양쪽으로 부터 사이에 있다는 뜻이다.
🧱절댓값은 0까지의 거리|a|는 수직선에서 a가 0에서 떨어진 거리이므로 어느 쪽에 있든 음수가 될 수 없고, |a - b|는 a와 b 사이의 간격이다.
왜?
세 부분 모두에서 을 빼면 수직선 위에서 똑같은 거리만큼 옮겨지므로, 어느 것도 순서가 바뀌지 않는다.
🧱양변에 같은 수를 더해도 부등호는 그대로두 수를 수직선 위에서 같은 거리만큼 옮기면 오른쪽에 있던 수는 여전히 오른쪽에 있으므로, 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호 방향은 그대로이다.
2STEP 2
a ＞ 0인 경우
양수 a로 나누면 방향이 그대로입니다. 양 끝을 맞춘 두 식을 더하면 a=-1이 되어 a ＞ 0에 모순입니다.
-b-1=-2a, b-1=4a → -2=2a → a=-1
유일한 후보가 스스로의 가정을 어기므로 이 경우는 지웁니다.
8.EE.C.8Eliminate Possibilities3STEP 3
a ＜ 0인 경우
음수 a로 나누면 부등호 방향이 바뀝니다. 양 끝을 맞춘 두 식을 더하면 a=-1이고, b=1-2a=3입니다.
b-1=-2a, -b-1=4a → a=-1, b=1-2(-1)=3
a=-1 ＜ 0, b=3 ≥ 0이므로 가정과 맞습니다.
8.EE.C.8Identify Subproblems4STEP 4
확인하기
a=-1, b=3을 처음 부등식에 대입합니다.
|-x+1| ≤ 3 → -3 ≤ 1-x ≤ 3 → -2 ≤ x ≤ 4
해의 범위가 주어진 범위와 정확히 같습니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra정답
a=-1, b=3
a=-1, b=3일 때 x=-2이면 |3|=3 ≤ 3, x=4이면 |-3|=3 ≤ 3으로 둘 다 경계에 놓이고, x=5이면 |-4|=4 ＞ 3이 되어 범위 밖입니다. 양 끝이 정확합니다.
핵심 정리
문자로 나눌 때는 그 문자가 양수인지 음수인지부터 물어보세요.
- 절댓값 기호 없애기
- a ＞ 0인 경우
- a ＜ 0인 경우
- 확인하기
다음은 어디로?
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