심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
분모나 분자가 같아야 분수의 크기를 비교할 수 있다.
분수 4/㉠이 2/5와 8/9 사이에 있습니다. ㉠에 들어갈 수 있는 자연수 중에서, 두 부등식을 모두 만족하는 가장 큰 수를 구해야 합니다.
분수
내 답
풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기 — 가운데 분수는 이미 분자가 4이므로, 통분으로 분모를 맞추는 대신 분자를 똑같이 맞춥니다. 2/5와 8/9를 분자가 4인 분수로 바꾸면 복잡한 세 분수 비교가 쉬워집니다. 분자가 같으면 분모가 작을수록 분수가 크다는 성질을 쓰고, 마지막에 경계값을 추측하고 확인해 가장 큰 ㉠을 고릅니다.
1STEP 1
바깥 두 분수의 분자를 4로 만들기
바깥 두 분수를 분자 4로 고치자. 2/5는 4/10이 되고 8/9는 4/4.5가 된다.
2/5=(2 × 2)/(5 × 2)=4/10, 8/9=(8 ÷ 2)/(9 ÷ 2)=4/4.5
세 분수의 분자를 모두 4로 맞추는 것은 통분과 같은 원리이지만, ㉠ 자리의 분자가 이미 4라서 이 방법이 더 편합니다.
4.NF.A.1Solve An Easier Related Problem2STEP 2
분자가 같은 분수끼리 비교하기
분자가 같으면 분모가 클수록 작으므로, 상자는 4.5와 10 사이에 있다.
4/10 ＜ 4/(□) ＜ 4/4.5 → 4.5 ＜ □ ＜ 10
크기가 4인 막대를 더 많은 등분으로 나눌수록 한 조각이 작아지므로, 분모가 클수록 분수가 작아집니다. 그래서 ㉠은 10보다 작고 4.5보다 커야 합니다.
3.NF.A.3Solve An Easier Related Problem두 분수의 분자가 같으면 분모가 큰 쪽이 더 작은 분수다.
왜?
분모가 크다는 것은 같은 전체를 더 여러 조각으로 나눈다는 뜻이고, 정해진 전체를 더 많이 나누면 한 조각은 더 작아진다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
그러므로 작은 조각을 같은 개수만큼 가져오면 큰 조각을 그만큼 가져온 것보다 적다.
왜?
한쪽 조각 하나가 다른 쪽 조각 하나와 짝지어지는데, 어느 짝에서나 더 잘게 나눈 쪽 조각이 더 작다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
3STEP 3
가장 큰 자연수를 고르고 확인하기
그 사이의 가장 큰 자연수는 9이고, 10은 4/10이 2/5와 같아 안 된다.
2/5=0.4 ＜ 4/9≈ 0.444 ＜ 8/9≈ 0.889
경계값 9를 직접 넣어 확인하면 9는 되고 10은 아슬아슬하게 안 되므로, 9가 4/㉠을 범위 안에 두는 가장 큰 수입니다.
4.NF.A.2Guess And Check정답
9
4/9 ≈ 0.444는 정말로 0.4와 0.889 사이에 들어가므로 답이 범위 안에 있습니다. 10을 넣으면 4/10 = 2/5가 되어 같아지므로(더 크지 않음), 9가 가장 큰 수라는 것이 타당합니다.
핵심 정리
분모 대신 분자를 똑같이 맞추면, 분모가 큰 분수가 더 작은 분수예요.
- 바깥 두 분수의 분자를 4로 만들기
- 분자가 같은 분수끼리 비교하기
- 가장 큰 자연수를 고르고 확인하기
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같은 골격을 나중에 AMC에서는 이렇게 부릅니다: Multiplicative Ratio with Integrality Constraints, Small-Domain Constrained Search. 왜 같은 골격이 반복되는지 →