심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
연속하는 자연수는 1씩 커진다.
또는 과 같이 차례로 늘어놓은 수를 연속하는 자연수라고 합니다. 연속하는 세 자연수의 합이 일 때 이 세 수의 곱을 구하시오.
연산
내 답
조심 가운데 수 9를 구한 것은 두 번째 단계일 뿐이에요 — 문제는 세 수의 곱을 묻는 것이지 가운데 수 자체가 아니에요.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 연속하는 세 수는 (가운데 - 1), (가운데), (가운데 + 1)입니다. 합은 가운데 수의 3배이므로 가운데 수는 합을 3으로 나눈 값입니다. 그 다음 세 수를 직접 적어 확인합니다.
1STEP 1
합은 가운데 수의 3배
가운데 수를 중심으로 적으면 가운데-1, 가운데, 가운데+1입니다. -1과 +1이 상쇄되어 합은 가운데 수의 3배가 됩니다.
(m-1) + m + (m+1) = 3 × m = 27
고르게 늘어선 수들은 가운데를 중심으로 균형을 이루므로, 합은 가운데 값에 개수를 곱한 것과 같습니다.
3.OA.D.9Look For A Pattern연속하는 세 자연수의 합은 정확히 가운데 수의 3배이다.
왜?
가장 작은 수는 가운데보다 1 작고 가장 큰 수는 1 크므로, 그 1만큼을 가장 큰 수에서 가장 작은 수로 옮기면 세 수가 모두 가운데 수와 같아지면서 전체 합은 그대로 유지된다.
왜?
한 수에서 다른 수로 1만큼 옮기는 것은 같은 전체를 세 수 사이에서 다시 나눠 놓을 뿐이라 합은 변하지 않는다.
왜?
정해진 전체를 어떻게 부분으로 나누든 그 부분들을 다시 더하면 언제나 같은 전체가 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
세 수가 모두 가운데 수가 되면 합은 가운데 더하기 가운데 더하기 가운데, 즉 가운데 수의 같은 묶음 3개가 된다.
왜?
같은 양을 세 번 더하는 것은 그것을 3묶음 만드는 것과 같고, 이는 그 양의 3배이다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
2STEP 2
가운데 수 구하기
가운데 수의 3배가 27이므로 나누어 가운데 수를 구합니다: 27 ÷ 3 = 9.
m = 27 ÷ 3 = 9
3으로 나누는 것은 '3배'를 되돌리는 것으로, 3학년의 기본 나눗셈입니다.
3.OA.C.7Guess And Check3STEP 3
세 수를 적고 곱하기
세 수는 8, 9, 10입니다(확인: 8 + 9 + 10 = 27). 이 세 수를 곱합니다.
8 × 9 × 10 = 72 × 10 = 720
두 개씩 차례로 곱하고, 10을 곱하면 0 하나가 붙습니다.
3.OA.C.7Look For A Pattern정답
720
8 × 9 × 10 = 72 × 10 = 720
8 + 9 + 10 = 27로 주어진 합과 일치합니다. 곱 720은 9의 세제곱(729)에 가까운데, 9 근처의 세 수의 곱이라는 점에서 자연스럽습니다.
핵심 정리
차례로 늘어선 수는 가운데를 중심으로 균형을 이루어, 합은 가운데 곱하기 개수예요 -- 깔끔한 3학년 감각!
- 합은 가운데 수의 3배
- 가운데 수 구하기
- 세 수를 적고 곱하기
다음은 어디로?
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