심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2

관계식으로 한 문자를 다른 문자로 나타내 식의 값을 구한다.

$a+4b=2(a-b)$ 일 때, $\frac{3a+2b}{a-b}$ 의 값이 $x$ 에 대한 방정식 $\frac{x+21}{5}-ax=\frac{x-a}{3}$ 의 해와 같다. 이때 $-a^2+a-1$ 의 값을 구하시오. (단, $ab\neq 0$ , $a\neq b$ )

식·방정식

내 답

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기 — 작은 문제 셋으로 나눕니다. 관계식을 a=6b로 바꾸고, 그것으로 분수식이 항상 4임을 보인 뒤, 두 번째 방정식에 x=4를 넣어 a를 구합니다.

1STEP 1

관계식 정리하기

괄호를 풀고 이항해 정리합니다.

a+4b=2a-2b → 6b=a

2STEP 2

분수식의 값은 일정하다

a 대신 6b를 넣으면, b ≠ 0이므로 b가 약분됩니다.

(3a+2b)/(a-b)=(18b+2b)/(6b-b)=20b/(5b)=4

3STEP 3

방정식에 x=4 대입하기

해가 x=4이므로 대입합니다.

(4+21)/5-4a=(4-a)/3 → 5-4a=(4-a)/3

4STEP 4

a 구하기

양변에 3을 곱하고 정리합니다.

15-12a=4-a → 11=11a → a=1

5STEP 5

식의 값 계산하기

a=1을 대입합니다.

-1²+1-1=-1

정답

-1

a=1, b=1/6이면 a+4b=5/3, 2(a-b)=2×5/6=5/3입니다. a=1인 방정식에 x=4를 넣으면 25/5-4=1, (4-1)/3=1로 성립합니다. ab ≠ 0, a ≠ b도 만족합니다.

핵심 정리

두 문자가 관계식으로 묶여 있으면, 그 문자들로 만든 분수식이 그냥 수가 되기도 합니다.

관계식 정리하기
분수식의 값은 일정하다
방정식에 x=4 대입하기
a 구하기
식의 값 계산하기

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