심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
소수 자리 숫자 조건을 값의 범위(부등식)로 바꾼다.
보다 작은 자연수 이 있다. 을 소수로 나타내면 소수 첫째 자리의 수는 , 소수 셋째 자리의 수는 이다. 또, 을 소수로 나타내면 소수 둘째 자리의 수는 이다. 이때 의 값을 구하시오.
식·방정식수 체계
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 자리의 숫자는 범위를 감추고 있습니다. "소수 첫째 자리의 수가 1"은 0.1 ≤ n/75 ＜ 0.2입니다. 가장 강한 두 조건을 부등식으로 바꾸어 75를 곱하면 자연수 n이 하나로 정해지고, 마지막 조건으로 확인합니다.
1STEP 1
n/75의 소수 첫째 자리 이용하기
n ＜ 75이므로 n/75 ＜ 1이고, 소수 첫째 자리의 수가 1이므로 0.1 ≤ n/75 ＜ 0.2입니다. 각 변에 75를 곱합니다.
0.1 × 75 ≤ n ＜ 0.2 × 75 → 7.5 ≤ n ＜ 15
따라서 n은 8, 9, …, 14 중 하나입니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra의 소수 첫째 자리 숫자가 인 것은 , 곧 일 때와 같다.
왜?
소수 첫째 자리가 인 보다 작은 수는 에 뒷자리 숫자들이 더하는 만큼을 더한 것이고, 그 뒷자리들을 다 합해도 하나에는 못 미친다.
왜?
어느 자리든 개가 모이면 왼쪽 자리 이 되므로, 소수 첫째 자리 뒤가 모두 여도 하나를 다 채우지 못한다.
🧱자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
왜?
세 부분에 모두 양수 를 곱하면 수직선이 늘어날 뿐 뒤집히지 않으므로 이다.
🧱부등식의 양변에 곱하기양변에 같은 양수를 곱하면 수직선 위의 간격이 늘어나거나 줄어들어도 순서는 그대로이고, 같은 음수를 곱하면 0을 중심으로 뒤집히므로 부등호 방향이 바뀐다.
2STEP 2
(n+1)/75의 소수 첫째 자리 정하기
(n+1)/75은 0.12 이상 0.2 이하인데, 0.2이면 둘째 자리가 0이므로 0.2보다 작고 첫째 자리는 1입니다.
9/75=0.12 ≤ (n+1)/75 ≤ 15/75=0.2
소수 첫째 자리가 2이면서 둘째 자리가 8이려면 0.28 이상이어야 하는데 너무 큽니다.
7.NS.A.2Eliminate Possibilities3STEP 3
(n+1)/75의 소수 둘째 자리 이용하기
소수 첫째 자리가 1, 둘째 자리가 8이므로 0.18 ≤ (n+1)/75 ＜ 0.19입니다. 각 변에 75를 곱합니다.
0.18 × 75 ≤ n+1 ＜ 0.19 × 75 → 13.5 ≤ n+1 ＜ 14.25 → n+1=14
이 좁은 범위에 들어가는 자연수는 14뿐이므로 n=13입니다.
7.EE.B.4Convert To Algebra4STEP 4
소수 셋째 자리 확인하기
아직 쓰지 않은 조건을 나눗셈으로 확인합니다.
13/75=0.17333…
소수 첫째 자리는 1, 셋째 자리는 3으로 조건에 맞습니다.
7.NS.A.2Guess And Check정답
13
13/75=0.1733…(첫째 자리 1, 셋째 자리 3), 14/75=0.1866…(둘째 자리 8)이므로 세 조건이 모두 성립합니다.
핵심 정리
소수의 한 자리 숫자는 사실 값의 범위예요. 범위를 다루는 도구가 바로 부등식이에요.
- n/75의 소수 첫째 자리 이용하기
- (n+1)/75의 소수 첫째 자리 정하기
- (n+1)/75의 소수 둘째 자리 이용하기
- 소수 셋째 자리 확인하기
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