심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
복잡한 연산을 간단한 기호로 약속할 수 있다.
세 가지 새로운 기호를 약속했습니다. 별표는 두 수의 최대공약수를, 다이아몬드는 두 수의 최소공배수를, 수를 감싼 대괄호는 그 수의 약수의 개수를 뜻합니다. 안쪽부터 차례로 계산하여 [48 별표 64] 다이아몬드 12 의 값을 구합니다.
연산
내 답
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 약속한 서로 다른 연산이 세 겹으로 쌓여 있으므로, 안쪽부터 한 겹씩 작은 문제로 나누어 풉니다. 먼저 별표 안의 최대공약수, 다음으로 대괄호 안의 약수의 개수, 마지막으로 다이아몬드의 최소공배수 순서입니다. 약수를 빠짐없이 나열하면 최대공약수와 약수의 개수를 정확하게 구하고 확인할 수 있어, 어떤 수도 빠뜨리거나 두 번 세지 않습니다.
1STEP 1
가장 안쪽 작은 문제 계산: 48 별표 64
별표는 최대공약수를 뜻하고, 48 = 16 × 3, 64 = 16 × 4이므로 16이다.
48 bigstar 64 = gcd(48, 64) = 16
두 수를 동시에 나누는 가장 큰 수를 찾는 것은 공약수를 찾는 곱셈 짝 사고로, 4학년이 연습하는 활동입니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List2STEP 2
대괄호 계산: 16의 약수의 개수 세기
대괄호는 약수의 개수이고 16의 약수는 1, 2, 4, 8, 16이라 5다.
[ 16 ] = #{1, 2, 4, 8, 16} = 5
작은 수의 약수를 순서대로 모두 나열하는 것도 같은 약수 찾기 기술이며, 어느 것이 가장 큰지가 아니라 몇 개인지를 세는 것뿐입니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List3STEP 3
바깥 식 계산: 5 다이아몬드 12
마름모는 최소공배수를 뜻하고 5와 12는 공약수가 없으므로 60이다.
5 ◆ 12 = lcm(5, 12) = 60
약속한 기호를 안쪽부터 차례로 바꾸고 대괄호를 먼저 계산하는 것은 괄호가 있는 식을 읽는 방법과 똑같습니다.
5.OA.A.1Identify Subproblems5 ◆ 12는 60이 된다.
왜?
◆는 최소공배수로 약속되었으므로, 할 일은 5와 12가 모두 나누어떨어지게 하는 가장 작은 수를 찾는 것이다.
왜?
기호를 정하는 약속은 기호와 그 규칙이 언제나 같은 수를 가리킨다는 뜻이므로, 한쪽을 다른 쪽 자리에 써도 된다.
🧱같음의 추이성첫째가 둘째와 같고 둘째가 셋째와 같으면 첫째는 셋째와 같다.
왜?
5와 12는 1 말고는 공통인 약수가 없으므로, 온전한 5묶음으로도 온전한 12묶음으로도 닿는 가장 작은 수는 5 곱하기 12 그 자체다.
왜?
5씩 묶어 올라가면 12묶음을 다 채운 뒤에야 처음으로 12의 배수에 닿는다. 5묶음 하나를 쪼개어 12를 메울 수는 없기 때문이다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
정답
60
마지막 단계를 확인하면 60 ÷ 5 = 12, 60 ÷ 12 = 5 이므로 60은 두 수의 공배수이고, 더 작은 수는 없습니다(12의 배수는 12, 24, 36, 48, 60 인데 5로도 나누어떨어지는 첫 수가 60입니다). 앞 단계들도 맞습니다. 16은 48과 64를 모두 나누고, 16의 약수는 정말 1, 2, 4, 8, 16 의 5개입니다. 크기도 자연스럽습니다. 5와 12의 최소공배수는 두 수의 곱 가까이 나와야 하는데 60이 바로 그렇습니다.
핵심 정리
새로운 기호가 약속되면 각 기호를 규칙으로 바꾸어 양파 껍질을 벗기듯 안쪽부터 차례로 계산하면 됩니다.
- 가장 안쪽 작은 문제 계산: 48 별표 64
- 대괄호 계산: 16의 약수의 개수 세기
- 바깥 식 계산: 5 다이아몬드 12
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