문제
두 수의 곱은 최대공약수와 최소공배수의 곱과 같다.
두 자연수가 있습니다. 하나는 36이고 다른 하나는 모르는 수입니다. 두 수의 최대공약수는 12, 최소공배수는 180입니다. 모르는 수를 구해야 합니다.
수 체계
내 답
풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기 — 곧바로 공식을 외우기보다, 작은 수 예시로 두 수와 최대공약수, 최소공배수 사이의 친근한 관계를 살펴봅니다. 4와 6 같은 작은 짝을 해 보면 두 수의 곱은 언제나 최대공약수와 최소공배수의 곱과 같다는 규칙이 보입니다. 이 규칙으로 모르는 수를 구하고, 약수를 추측하고 확인하기로 다시 한번 검증합니다.
1STEP 1
작은 짝으로 규칙 발견하기
4와 6은 최대공약수가 2, 최소공배수가 12이고 4 × 6 = 2 × 12 = 24다.
4 × 6 = 24, 2 × 12 = 24
작은 예시는 직접 손으로 끝까지 확인할 수 있어서, 어려운 기호 없이도 큰 아이디어가 눈에 보입니다.
6.NS.B.4Solve An Easier Related Problem2STEP 2
패턴 말하기
그 균형은 어떤 두 자연수에나 성립한다. 두 수의 곱은 최대공약수와 최소공배수의 곱과 같다.
(어떤 수) × 36 = 최대공약수 × 최소공배수
같은 균형이 매번 나타나는 것을 알아채면, 이 문제의 더 큰 수에서도 그 규칙을 믿고 쓸 수 있습니다.
6.NS.B.4Look For A Pattern어떤 두 자연수든, 두 수를 곱한 값은 그 두 수의 최대공약수와 최소공배수를 곱한 값과 같다.
왜?
최대공약수는 두 수가 함께 가진 인수들을 모은 것이고, 최소공배수는 그 공통 인수들에 각 수가 혼자 가진 인수들까지 더해 모은 것이다.
왜?
두 수를 이루는 인수는 저마다 공통 부분에 있거나 어느 한 수만의 부분에 있어서, 빠뜨린 것도 두 번 센 것도 없다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
두 수를 곱하면 공통 인수를 양쪽에서 하나씩, 곧 두 번 쓰게 되는데, 이는 최대공약수와 최소공배수를 곱했을 때 모이는 인수들과 똑같다.
왜?
같은 인수들은 어떤 순서로 다시 묶어도 곱한 값이 달라지지 않는다.
🧱곱셈의 결합법칙세 수를 곱할 때 어느 둘을 먼저 묶든 곱은 같다.
3STEP 3
아는 값 넣기
최대공약수 12와 최소공배수 180을 대입합니다. 두 수의 곱은 12 곱하기 180, 즉 2160과 같아야 합니다.
(어떤 수) × 36 = 12 × 180 = 2160
규칙을 알고 나면 문제는 6학년 학생이 할 수 있는 쉬운 곱셈 하나로 줄어듭니다.
6.NS.B.4Solve An Easier Related Problem4STEP 4
모르는 수 구하기
어떤 수에 36을 곱하면 2160이 되므로, 2160을 36으로 나누면 그 수가 나옵니다. 2160 나누기 36은 60입니다.
어떤 수 = 2160 ÷ 36 = 60
곱셈을 되돌리려고 나눗셈을 하는 것은 숨어 있는 인수를 찾는 자연스러운 방법입니다.
6.NS.B.2Solve An Easier Related Problem5STEP 5
추측하고 확인하기로 검증하기
60 = 2 × 2 × 3 × 5, 36 = 2 × 2 × 3 × 3이라 최대공약수 12, 최소공배수 180이 맞는다.
60 = 2² · 3 · 5, 36 = 2² · 3²
답을 최대공약수와 최소공배수 양쪽에 직접 맞춰 보는 것은, 그냥 바라기만 하지 않고 빠르고 확실하게 옳음을 보장하는 방법입니다.
6.NS.B.4Guess And Check정답
60
답 60은 자연수이고, 최대공약수 12의 배수이며(60 = 12 곱하기 5), 최소공배수 180의 약수입니다(180 = 60 곱하기 3). 알맞은 짝이 되는 수라면 마땅히 그래야 하는 조건을 모두 만족합니다. 최대공약수 검산(12)과 최소공배수 검산(180)이 모두 맞으므로 답이 타당합니다.
핵심 정리
두 수를 곱한 값은 언제나 그 두 수의 최대공약수와 최소공배수를 곱한 값과 같아서, 그 균형으로 모르는 수를 찾을 수 있어요.
- 작은 짝으로 규칙 발견하기
- 패턴 말하기
- 아는 값 넣기
- 모르는 수 구하기
- 추측하고 확인하기로 검증하기
다음은 어디로?
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