심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
단위분수는 분모가 작을수록 크다.
양변에서 단위분수 두 개를 곱한다. 왼쪽은 5분의 1 곱하기 12분의 1로 값이 고정되어 있다. 오른쪽은 □분의 1 곱하기 8분의 1이다. 오른쪽이 왼쪽보다 여전히 크게 유지되도록 □ 안에 넣을 수 있는 가장 큰 자연수를 구해야 한다.
분수
내 답
풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기 — 먼저 양변을 각각 곱해서, 분수 두 개끼리 비교하는 복잡한 식을 단위분수 한 개끼리 비교하는 더 쉬운 문제로 바꾼다. 양변이 모두 단위분수가 되면 '분모가 작을수록 분수가 크다'는 성질이 부등호의 방향을 정확히 알려 준다. 그런 다음 경계가 되는 자연수를 추측하고 확인하여 여전히 성립하는 가장 큰 수를 찾는다.
1STEP 1
왼쪽 계산하기
왼쪽의 두 단위분수는 분모끼리 곱한다. 5 곱하기 12는 60이므로 왼쪽은 60분의 1이 된다.
1/5 × 1/12 = 1/60
단위분수 두 개를 곱하면 분모끼리만 곱하면 된다. 12분의 1의 5분의 1은 똑같이 나눈 60조각 중 1조각이라고 5학년 학생도 그릴 수 있다.
5.NF.B.4Solve An Easier Related Problem2STEP 2
오른쪽 계산하기
오른쪽은 (8 × 상자) 분의 1이 되어 이쪽도 단위분수다.
1/(■) × 1/8 = 1/(8 × ■)
분모끼리 곱하는 같은 규칙으로 오른쪽도 단위분수 하나가 되어, 이제 양변 모두 분자가 1이다.
5.NF.B.4Solve An Easier Related Problem3STEP 3
두 단위분수 비교하기
단위분수는 분모가 클수록 작으니, 8 × 상자가 60보다 작아야 한다.
1/60 ＜ 1/(8 × ■) ⇔ 8 × ■ ＜ 60
하나의 전체를 더 많은 조각으로 나누면 각 조각이 더 작아진다. 그래서 분모가 큰 분수가 더 작은 분수다. 이 성질이 비교를 분모끼리의 비교로 바꿔 준다.
4.NF.A.2Solve An Easier Related Problem단위분수 둘을 견주면 분모가 작은 쪽이 더 큰 분수다.
왜?
단위분수는 전체를 분모만큼 똑같이 나눈 것 중 한 조각이므로, 덜 잘게 나눌수록 한 조각이 커진다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
그러니 조각 하나끼리 견주는 것은 두 전체를 얼마나 잘게 나눴는지를 견주는 것과 같다.
왜?
양쪽에서 가져온 조각 하나가 서로 곧바로 짝지어지므로, 덜 나눈 쪽이 더 큰 조각을 갖는다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
4STEP 4
가장 큰 자연수 찾기
8 × 7 = 56은 60보다 작지만 8 × 8 = 64는 아니므로, 가능한 가장 큰 수는 7이다.
8 × 7 = 56 ＜ 60 ✓ 8 × 8 = 64 ＞ 60 ×
경계에 있는 두 수를 직접 넣어 보면 '되는' 것이 '너무 큰' 것으로 바뀌는 지점이 정확히 보여서, 7이 가장 큰 수임을 확신할 수 있다.
3.NF.A.3Guess And Check정답
7
7을 넣어 보면 오른쪽은 (8 곱하기 7)분의 1, 즉 56분의 1이다. 60분의 1이 56분의 1보다 작은가? 그렇다. 60조각이 56조각보다 작기 때문이다. 한편 8을 넣으면 64분의 1이 되어 60분의 1보다 작아지므로 부등호가 성립하지 않는다. 따라서 7이 맞다.
핵심 정리
먼저 양변을 각각 곱한 다음, 단위분수는 분모가 작을수록 크다는 것을 기억하자.
- 왼쪽 계산하기
- 오른쪽 계산하기
- 두 단위분수 비교하기
- 가장 큰 자연수 찾기
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