심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
복잡한 연산을 간단한 기호로 약속할 수 있다.
새로 약속한 기호 ⊙은 '두 수를 더한 합'에 '두 수의 차'를 곱하라는 뜻입니다. 32 ⊙ (7 ⊙ 5)의 값을 구해야 하는데, 괄호 안의 식을 먼저 계산해야 합니다.
연산
내 답
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 새 기호는 짧은 계산 규칙을 약속한 것일 뿐입니다. 가장 깔끔한 방법은 일을 작은 조각으로 나누는 것입니다. 먼저 괄호 안의 7 ⊙ 5를 계산해 보통의 수 하나로 만들고, 그 수를 바깥쪽 ⊙에 넣습니다. 작은 안쪽 계산으로 규칙을 한 번 연습해 두면, 더 큰 바깥쪽 계산도 똑같이 쉬운 단계처럼 느껴집니다.
1STEP 1
기호가 약속하는 규칙 읽기
이 기호는 연산이 아니라 약속이다. a ⊙ b는 (a + b) × (a - b)가 되니 넣어 바꾸기만 하면 된다.
a ⊙ b = (a + b) × (a - b)
5학년 학생은 계산 과정을 식으로 나타낼 수 있습니다. 낯선 기호는 '더한 다음, 그 차이만큼 곱하기'를 줄여 쓴 것일 뿐입니다.
5.OA.A.2Solve An Easier Related Problem2STEP 2
괄호 안의 작은 문제 먼저 풀기: 7 ⊙ 5
안쪽 7 ⊙ 5가 괄호에 있으니 먼저 하자. 12 × 2 = 24다.
7 ⊙ 5 = (7 + 5) × (7 - 5) = 12 × 2 = 24
괄호는 어떤 작은 조각을 먼저 끝낼지 알려 주므로, 복잡해 보이던 식이 24라는 깔끔한 수 하나로 정리됩니다.
5.OA.A.1Identify Subproblems안쪽의 7 ⊙ 5는 계산하면 24가 된다.
왜?
이 기호는 정해진 연산 기호가 아니라 우리가 약속받은 규칙이므로, 7 ⊙ 5는 (7 + 5) x (7 - 5)로 바꿔 쓸 수 있다.
왜?
기호를 정하는 약속은 양쪽이 언제나 같은 수를 가리킨다는 뜻이므로, 어느 쪽을 다른 쪽 자리에 써도 된다.
🧱같음의 추이성첫째가 둘째와 같고 둘째가 셋째와 같으면 첫째는 셋째와 같다.
왜?
그러면 12 x 2가 남는데, 이는 12를 두 번 센 것이라 24가 된다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
3STEP 3
안쪽 값을 넣어 전체 식 다시 쓰기
괄호 안이 24임을 구했으므로, 이제 32 ⊙ (7 ⊙ 5)는 32 ⊙ 24가 됩니다.
32 ⊙ (7 ⊙ 5) = 32 ⊙ 24
괄호 안을 그 값으로 바꿔도 뜻은 그대로이고, 이제 쉬운 단계 하나만 남습니다.
5.OA.A.1Identify Subproblems4STEP 4
바깥쪽 연산에 규칙 적용하기: 32 ⊙ 24
같은 규칙을 한 번 더 씁니다. 32와 24를 더해 합을 구하고, 빼서 차를 구한 뒤 두 결과를 곱합니다.
32 ⊙ 24 = (32 + 24) × (32 - 24) = 56 × 8 = 448
작은 경우에서 이미 연습한 '더하고, 빼고, 곱하기'와 똑같은 동작을, 이번엔 더 큰 수로 하는 것뿐입니다.
5.NBT.B.5Identify Subproblems정답
448
답이 자연수 하나로 나왔는데, 자연수를 더하고 곱한 결과로는 알맞습니다. 크기를 어림해 보면 56 × 8은 60 × 8 = 480보다 조금 작고, 448은 480보다 조금 작으므로 곱셈이 알맞은 범위에 있습니다. 안쪽 결과 24도 12 × 2 = 24이므로 타당합니다.
핵심 정리
새 기호는 변장한 규칙일 뿐이에요. 괄호 안을 먼저 끝낸 다음, 같은 단계를 한 번 더 따라 하면 됩니다.
- 기호가 약속하는 규칙 읽기
- 괄호 안의 작은 문제 먼저 풀기: 7 ⊙ 5
- 안쪽 값을 넣어 전체 식 다시 쓰기
- 바깥쪽 연산에 규칙 적용하기: 32 ⊙ 24
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