문제
같은 위치에 있는 각, 엇갈린 위치에 있는 각은 서로 같다.
평행한 두 직선 가(위)와 나(아래)를 두 직선이 가로질러 그 사이에서 X자 모양으로 교차합니다. 위쪽 직선 가와 만나는 곳의 한 각은 55°, 아래쪽 직선 나와 만나는 곳의 한 각은 40°입니다. 직선 사이의 교차점에서 직선 나 쪽으로 벌어진 그 각 ㉠의 크기를 구해야 합니다.
도형
내 답
°인가요?
조심 두 밑각(55°와 40°)을 더한 값을 그대로 ㉠이라고 답하기 쉽지만, ㉠은 그 합을 180°에서 뺀 나머지 값이지 합 자체가 아닙니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 두 가로지르는 직선과 직선 나가 삼각형을 이룹니다. 그 꼭지점이 교차점(㉠ 각)이고 밑변은 직선 나 위에 있습니다. 40°는 바로 한 밑각입니다. 직선 가에서의 55°는 평행선의 엇각으로 직선 나의 다른 밑각으로 옮겨집니다(가와 나는 평행). 그러면 꼭지각 ㉠은 180°에서 남는 값입니다.
1STEP 1
삼각형 찾기
두 가로지르는 직선과 직선 나가 삼각형을 잘라 내고, ㉠은 그 꼭지각입니다.
∠(㉠) = 180° - (밑각₁) - (밑각₂)
그림을 그리면 '평행선 사이의 각' 문제가 세 각의 합이 반드시 180°인 하나의 삼각형 문제로 바뀝니다.
4.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
55°를 직선 나로 옮기기
직선 가의 55°는 직선 나에서 엇각과 같으므로, 삼각형의 한 밑각은 55°입니다.
가에서 55° = 나의 밑각 55°
가와 나가 평행하므로 비스듬한 직선이 같은 기울기로 둘을 가로지릅니다. 그래서 짝이 되는 엇각도 55°입니다.
4.G.A.2Identify Subproblems3STEP 3
두 밑각 이용하기
직선 나 위 삼각형의 두 밑각은 55°와 40°입니다. 꼭지각(㉠)은 180°에서 두 밑각의 합을 뺀 것입니다.
∠(㉠) = 180° - 55° - 40° = 85°
삼각형의 두 각을 알면 세 각의 합이 항상 180°이므로 나머지 각이 저절로 정해집니다.
4.MD.C.7Identify Subproblems꼭짓점의 원 각은 180도에서 두 밑각 55도와 40도를 빼고 남는 크기이다.
왜?
원 각과 두 밑각은 한 삼각형의 세 내각이므로, 셋을 합치면 반드시 180도가 된다.
🧱삼각형 내각의 합은 180도평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나, 180도가 된다.
왜?
세 각이 겹침 없이 180도를 딱 채우므로, 180도에서 알고 있는 두 밑각을 빼면 정확히 원 각만 남는다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
밑각 중 하나는 line p에 표시된 55도와 같은 55도인데, p와 q가 평행하여 횡단선이 두 선에서 같은 엇각을 벌리므로 그 각이 line q로 옮겨진 것이다.
🧱평행선의 횡단선은 같은 각을 만든다두 평행선을 가로지르는 선은 같은 위치의 동위각과 엇각을 서로 같게 만든다.
정답
85 °
180° - 55° - 40° = 85°
두 밑각 55°와 40°를 더하면 95°이고, 꼭지각으로 85°가 남습니다. 이는 직각보다 조금 작은 각으로 그림의 교차 모양과 잘 맞습니다. 세 각의 합도 55 + 40 + 85 = 180°입니다.
핵심 정리
숨은 삼각형을 찾고 55°를 평행선 사이로 쓱 내려 보내면, 마지막 각은 그냥 180°에서 남은 값이에요!
- 삼각형 찾기
- 55°를 직선 나로 옮기기
- 두 밑각 이용하기
다음은 어디로?
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