심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
반복되는 수의 자리 숫자 합은 항상 3의 배수이다.
숫자 A와 B를 번갈아 써서 여섯 자리 수 ABABAB를 만듭니다. A, B를 어떻게 정해도 항상 이 수를 나누어떨어지게 하는 가장 작은 소수를 구합니다.
연산식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 소수를 2부터 차례로 따져 봅니다. 탈락시킬 때는 예 하나면 충분하고, 통과시킬 때는 자리 숫자의 합을 문자로 써서 모든 경우를 한꺼번에 확인합니다.
1STEP 1
소수 2 따져 보기
ABABAB의 일의 자리 숫자는 B입니다. B가 홀수이면 이 수는 홀수입니다. 예를 들어 A = 2, B = 1이면 212121입니다.
212121의 일의 자리는 1 → 홀수
따라서 2는 항상 약수인 것은 아닙니다.
4.OA.B.4Guess And Check2STEP 2
자리 숫자의 합을 문자로 쓰기
각 자리의 숫자는 A, B, A, B, A, B이므로 합은 A + B가 세 번 더해진 것입니다.
A + B + A + B + A + B = 3(A + B)
자리 숫자의 합이 항상 3의 배수이므로 ABABAB는 항상 3의 배수입니다.
7.EE.A.2Convert To Algebra의 각 자리 숫자의 합은 항상 의 배수이므로 는 항상 으로 나누어떨어진다.
왜?
여섯 개의 숫자는 세 묶음으로 짝지어지고, 같은 양 세 묶음은 그 양의 배이다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
왜?
자리값 , , , ...은 모두 의 배수보다 큰 수라서, 어떤 수가 으로 나누어떨어지는지는 각 자리 숫자의 합만으로 정해진다.
🧱배수 판정은 자리값에서 나온다10, 100, 1000이 나누는 수와 정해진 관계에 있어 특정 자리만 문제가 된다 — 끝 두 자리가 4를, 자릿수의 합이 3과 9를 정한다.
3STEP 3
가장 작은 소수 고르기
2는 안 되는 경우가 있고 3은 모든 경우에 됩니다. 2보다 작은 소수는 없으므로 답은 3입니다.
2 는 탈락, 3은 항상 성립
답은 3입니다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities정답
3
A = 2, B = 1이면 212121 ÷ 3 = 70707로 나누어떨어지고, 212121은 홀수입니다. 두 결론과 맞습니다.
핵심 정리
반례 하나면 탈락, 문자식 하나면 언제나 통과임을 보일 수 있습니다.
- 소수 2 따져 보기
- 자리 숫자의 합을 문자로 쓰기
- 가장 작은 소수 고르기
다음은 어디로?
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