심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
나머지가 같으면 두 수의 차는 나누는 수로 나누어떨어진다.
네 수 , , , 를 같은 자연수로 나누었을 때의 나머지가 모두 같다고 한다. 이때 나누는 수와 나머지를 각각 모두 구하시오. (단, 나머지는 이 아니다.)
수 체계식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 관점 바꾸기 — 모르는 나머지가 걸림돌입니다. 두 수를 빼면 나머지가 지워지므로 나누는 수는 모든 차를 나누어떨어지게 합니다. 차들의 공약수를 구한 뒤, 각각의 나머지를 계산하고 0이 되는 경우는 뺍니다.
1STEP 1
빼서 나머지 지우기
나누는 수를 G, 공통 나머지를 r이라 하면 각 수는 G의 배수에 r을 더한 꼴입니다. 두 수의 차에서는 r이 사라집니다.
(Ga + r) - (Gb + r) = G(a - b)
G는 어느 두 수의 차도 나누어떨어지게 합니다.
7.EE.A.1Convert To Algebra나누는 수는 네 수 중 어느 두 수의 차도 나누어떨어지게 한다.
왜?
각 수는 나누는 수만큼씩 묶은 묶음 몇 개에 똑같은 나머지 가 붙은 것이다.
🧱나머지가 있는 나눗셈어떤 수든 같은 크기 묶음 몇 개와 나머지로 갈라지고, 나머지는 언제나 묶음 크기보다 작다.
왜?
두 수 모두 같은 를 더 가지고 있고, 두 수를 같은 만큼 옮겨도 그 사이의 차는 변하지 않으므로, 차는 묶음 부분끼리의 차와 같다.
🧱둘을 같이 옮기면 차는 그대로두 점을 수직선에서 같은 거리만큼 밀면 둘 사이의 간격은 결코 변하지 않는다.
왜?
의 묶음에서 의 묶음을 빼면 의 묶음이 남으므로 의 배수이다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
2STEP 2
차 구하기
이웃한 수끼리 뺍니다. 다른 차는 이 차들의 합이므로 세 개로 충분합니다.
2613 - 2243 = 370, 2243 - 1503 = 740, 1503 - 985 = 518
G는 370, 740, 518의 공약수입니다.
6.NS.B.4Change Focus Count The Complement3STEP 3
공약수 구하기
각 차를 소인수분해하면 최대공약수는 2 × 37 = 74이므로 공약수는 74의 약수입니다.
370 = 2 × 5 × 37, 740 = 2² × 5 × 37, 518 = 2 × 7 × 37
G는 1, 2, 37, 74 중 하나입니다.
6.NS.B.4Make A Systematic List4STEP 4
각각의 나머지 구하기
985를 각 후보로 나눕니다. 1로 나누면 나머지가 항상 0이므로 조건에 맞지 않습니다.
985 = 74 × 13 + 23, 985 = 37 × 26 + 23, 985 = 2 × 492 + 1
74로 나누면 23, 37로 나누면 23, 2로 나누면 1이 남습니다.
6.NS.B.4Make A Systematic List정답
나누는 수 74, 나머지 23; 나누는 수 37, 나머지 23; 나누는 수 2, 나머지 1
74로 확인합니다. 2613 = 74 × 35 + 23, 2243 = 74 × 30 + 23, 1503 = 74 × 20 + 23입니다. 네 수가 모두 홀수이므로 2로 나눈 나머지는 모두 1입니다.
핵심 정리
나머지가 같으면 빼 보세요. 나머지는 사라지고 나누는 수만 차에 남습니다.
- 빼서 나머지 지우기
- 차 구하기
- 공약수 구하기
- 각각의 나머지 구하기
다음은 어디로?
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