문제
직선끼리 모두 만나면 점이 가장 많이 생긴다.
원 안에 선분을 계속 긋는데, 새로 긋는 선분은 이미 그어진 모든 선분과 만나도록 그어서 원이 나뉘는 부분의 수가 가장 많아지게 합니다. 선분을 9개 그었을 때 원이 몇 부분으로 나뉘는지 구하는 문제입니다.
연산
내 답
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 선분 9개를 한 번에 머릿속으로 그리기는 어려우므로, 그림에 나온 작은 경우(선분 1, 2, 3개)부터 시작해 새 선분 하나가 부분을 몇 개 더 늘리는지 세어 규칙을 찾습니다. '늘어나는 부분의 수' 규칙이 아주 간단해서 9개까지 그대로 이어 갈 수 있습니다.
1STEP 1
작은 경우를 그려서 세기
그려 보면 선분 1개는 2영역, 2개는 4영역, 3개는 7영역이 된다.
1 seg→ 2, 2 seg→ 4, 3 seg→ 7
처음 몇 경우를 직접 그리면 5학년 학생이 머릿속으로 상상하지 않고 모양을 눈으로 볼 수 있습니다.
4.OA.C.5Draw A Diagram2STEP 2
새 선분이 부분을 몇 개씩 늘리는지 보기
k번째 선분은 앞선 k-1개를 가로질러 k조각으로 나뉘고, 영역을 k개 늘린다.
2→4 adds 2, 4→7 adds 3
새 선분을 하나씩만 따라가면 복잡해 보이던 그림이 쉬운 세기로 바뀝니다.
4.OA.C.5Solve An Easier Related Problemk번째로 긋는 선분은 새 영역을 정확히 k개 늘린다.
왜?
영역을 가장 많이 만들려면 새 선분이 이미 그어진 k-1개의 선분을 모두 가로질러야 하고, 그 교차점들이 새 선분을 k개의 부분으로 나눈다.
왜?
교차점 하나가 새 선분의 한 부분을 둘로 가르므로, 교차점 k-1개는 한 부분을 k개로 만든다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
그 k개의 부분은 저마다 기존 영역 하나를 지나며 둘로 가르므로, 부분 하나가 영역 하나를 늘린다.
왜?
지나간 영역은 두 조각으로 나뉘지만, 그 두 조각을 합치면 이전과 똑같은 자리를 채운다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
규칙 정하기
따라서 전체는 원 하나의 1에 1 + 2 + 3을 선분 수까지 이어 더한 것이다.
R(n)=1+(1+2+3+…+n)
선분의 번호와 늘어나는 부분의 수가 나란히 짝지어집니다: 1은 1, 2는 2, 3은 3 — 분명한 대응입니다.
5.OA.B.3Look For A Pattern4STEP 4
선분 9개까지 더하기
원 하나가 1이고 1부터 9까지의 합이 45이므로, 전체는 46이다.
R(9)=1+(1+2+…+9)=1+45=46
규칙만 분명해지면 답은 5학년 학생도 할 수 있는 덧셈일 뿐입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern정답
46개
부분의 수는 2, 4, 7, 11, 16, ... 으로 늘 직전보다 1만큼 더 큰 폭으로 커지는데, 이는 교점이 점점 많아지는 선분들과 잘 맞습니다. 답 46은 부분의 수이므로 자연수이고, 선분 3개일 때의 7보다 훨씬 크니 선분 9개에 알맞습니다.
핵심 정리
다른 선분과 모두 만나는 새 선분은 자기 번호만큼 부분을 늘리니, 1+2+3+...+9에 원 1을 더하면 됩니다.
- 작은 경우를 그려서 세기
- 새 선분이 부분을 몇 개씩 늘리는지 보기
- 규칙 정하기
- 선분 9개까지 더하기
다음은 어디로?
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