심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
다음과 같이 원을 나눈 부분의 수가 최대가 되도록 선분을 그었습니다. 선분을 개 그었을 때 원을 나눈 부분은 몇 개일까요?
그림은 원 안에 선분을 차례로 그어 나누는 모습이다. 첫째는 선분 개를 그어 원이 부분으로 나뉜다. 둘째는 선분 개를 서로 만나도록 그어 부분으로 나뉜다. 셋째는 선분 개를 서로 모두 만나도록 그어 부분의 수가 최대가 되게 한다. 이와 같이 선분을 추가할 때마다 앞선 선분들과 모두 만나도록 그어 나눈 부분의 수가 최대가 되게 한다.
그려 보면 선분 1개는 2영역, 2개는 4영역, 3개는 7영역이 된다.
처음 몇 경우를 직접 그리면 5학년 학생이 머릿속으로 상상하지 않고 모양을 눈으로 볼 수 있습니다.
4.OA.C.5Draw A Diagramk번째 선분은 앞선 k-1개를 가로질러 k조각으로 나뉘고, 영역을 k개 늘린다.
새 선분을 하나씩만 따라가면 복잡해 보이던 그림이 쉬운 세기로 바뀝니다.
4.OA.C.5Solve An Easier Related Problemk번째로 긋는 선분은 새 영역을 정확히 k개 늘린다.
영역을 가장 많이 만들려면 새 선분이 이미 그어진 k-1개의 선분을 모두 가로질러야 하고, 그 교차점들이 새 선분을 k개의 부분으로 나눈다.
교차점 하나가 새 선분의 한 부분을 둘로 가르므로, 교차점 k-1개는 한 부분을 k개로 만든다.
그 k개의 부분은 저마다 기존 영역 하나를 지나며 둘로 가르므로, 부분 하나가 영역 하나를 늘린다.
지나간 영역은 두 조각으로 나뉘지만, 그 두 조각을 합치면 이전과 똑같은 자리를 채운다.
따라서 전체는 원 하나의 1에 1 + 2 + 3을 선분 수까지 이어 더한 것이다.
선분의 번호와 늘어나는 부분의 수가 나란히 짝지어집니다: 1은 1, 2는 2, 3은 3 — 분명한 대응입니다.
5.OA.B.3Look For A Pattern원 하나가 1이고 1부터 9까지의 합이 45이므로, 전체는 46이다.
규칙만 분명해지면 답은 5학년 학생도 할 수 있는 덧셈일 뿐입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern다른 선분과 모두 만나는 새 선분은 자기 번호만큼 부분을 늘리니, 1+2+3+...+9에 원 1을 더하면 됩니다.
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같은 골격을 나중에 AMC에서는 이렇게 부릅니다: Arithmetic Expression Decomposition, Geometric Series Share, Lattice / Grid Pattern from Small Cases. 왜 같은 골격이 반복되는지 →