심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
잘못 본 계수가 없는 식은 틀린 해도 만족한다.
현정이와 나연이가 연립방정식 , 을 푸는데, 현정이는 상수 를 잘못 보고 풀어서 , 을 얻었고, 나연이는 상수 를 잘못 보고 풀어서 , 를 얻었다. 주어진 연립방정식의 해를 구하시오.
식·방정식
내 답
풀이 과정
전략 관점 바꾸기 — 무엇이 틀렸는지보다 무엇을 바르게 보았는지로 관점을 바꿉니다. 현정이는 두 번째 식을 바르게 보았으니 현정이의 해는 그 식을 만족하고, 나연이는 첫 번째 식을 바르게 보았으니 나연이의 해는 그 식을 만족합니다. 이것으로 상수를 하나씩 구하면 나머지는 평범한 연립방정식 풀이입니다.
1STEP 1
현정이의 해를 바르게 본 식에 넣기
현정이가 잘못 본 a는 첫 번째 식에만 있습니다. 그러므로 현정이의 해 x=3, y=-3은 두 번째 식 2x-by=3을 만족합니다.
2 × 3 - b × (-3) = 3 → 6 + 3b = 3 → b = -1
틀린 해라도, 손대지 않은 식의 해로는 올바릅니다.
8.EE.C.8Change Focus Count The Complement현정이가 얻은 , 은 바르게 옮긴 식 을 만족하고, 이것으로 가 정해진다.
왜?
현정이가 잘못 본 는 첫째 식에만 있으므로 그녀의 둘째 식은 원래의 그대로였고, 그녀가 구한 해는 그녀의 연립방정식의 모든 식을, 그 식까지 포함해 참으로 만든다.
🧱해는 등식을 참으로 만든다해란 미지수 자리에 넣었을 때 양변의 값이 같아지는 수이다; 해라는 말의 뜻이 바로 그것이다.
왜?
에 , 을 넣으면 이 되고, 여기서 로 정해진다.
왜?
에 을 곱하면 이다. 부호가 같은 두 수의 곱은 양수이기 때문이다.
🧱곱셈과 나눗셈의 부호음수를 곱하면 수가 0의 반대편으로 뒤집히므로, 두 번 뒤집으면 다시 양수 쪽이다: 0이 아닌 두 수의 곱과 몫은 부호가 같으면 양수, 다르면 음수이다 (0에는 부호가 없다).
왜?
양변에서 을 빼고 양변을 으로 나누어도 등식의 균형은 유지되므로 이 남는다.
🧱양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
2STEP 2
나연이의 해를 바르게 본 식에 넣기
나연이는 b를 잘못 보았으므로 첫 번째 식 ax+y=-1은 바르게 보았고, x=1, y=2가 이 식을 만족합니다.
a × 1 + 2 = -1 → a = -3
같은 생각을 다른 식에 쓰면 나머지 상수가 나옵니다.
8.EE.C.8Change Focus Count The Complement3STEP 3
원래 연립방정식에서 y 소거하기
a=-3, b=-1이므로 연립방정식은 -3x+y=-1, 2x+y=3입니다. 두 번째 식에서 첫 번째 식을 빼면 y가 없어집니다.
(2x+y)-(-3x+y) = 3-(-1) → 5x = 4 → x = 4/5
두 식 모두 +y가 있어서 빼기만 하면 바로 소거됩니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra4STEP 4
y 구하기
x=4/5를 2x+y=3에 대입합니다.
y = 3 - 2 × 4/5 = 15/5 - 8/5 = 7/5
해가 자연수여야 한다는 조건은 없으니 분수여도 괜찮습니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra정답
x=4/5, y=7/5
원래 두 식에 넣어 보면 -3 × 4/5 + 7/5 = -12/5 + 7/5 = -1, 2 × 4/5 + 7/5 = 8/5 + 7/5 = 3으로 모두 성립합니다.
핵심 정리
잘못 본 상수는 자기 식만 망가뜨리니, 틀린 해도 다른 식에 대해서는 참된 정보를 줍니다.
- 현정이의 해를 바르게 본 식에 넣기
- 나연이의 해를 바르게 본 식에 넣기
- 원래 연립방정식에서 y 소거하기
- y 구하기
다음은 어디로?
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