문제
조건에 맞게 수 카드를 놓아 수를 만든다.
수 카드 8, 0, 5, 3을 각각 한 번씩만 사용하여 네 자리 수를 만들 때, 5000보다 큰 수가 모두 몇 개인지 세는 문제입니다.
자릿값
내 답
개인가요?
조심 세어야 할 것은 5000보다 큰 수뿐이고, 만들 수 있는 모든 네 자리 수가 아닙니다 — 맨 앞이 3이면 조건에 맞지 않습니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 5000보다 큰지 아닌지는 거의 전적으로 천의 자리 숫자가 결정합니다. 그래서 천의 자리에 어떤 카드가 오는지로 경우를 나눈 뒤(작은 문제), 남은 세 카드의 배열을 빠짐없이 나열합니다.
1STEP 1
천의 자리에 올 수 있는 카드 정하기
천의 자리가 5 이상이어야 5000을 넘으니, 카드 8, 0, 5, 3 중 맨 앞에 올 수 있는 건 5와 8뿐.
천의 자리 숫자 ≥ 5 → 5 또는 8
여러 자리 수를 비교할 때는 가장 높은 자리부터 보므로, 천의 자리 숫자만 봐도 5000을 넘었는지 알 수 있습니다.
4.NBT.A.2Identify Subproblems숫자 카드 8, 0, 5, 3으로 만든 네 자리 수는 천의 자리에 놓인 카드가 5나 8일 때에만 5000보다 크다.
왜?
네 자리 수가 5000을 넘는지는 천의 자리 숫자 하나로 정해지는데, 그 자리는 무려 1000의 값을 갖기 때문이다.
왜?
천의 자리 숫자가 하나 커지면 1000이 통째로 늘지만, 백의 자리·십의 자리·일의 자리를 다 합쳐도 999까지밖에 못 가므로 더 작은 천의 자리를 결코 뒤집을 수 없다.
왜?
각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이라, 1000 하나가 아래 세 자리에 쌓이는 어떤 양보다도 크다.
🧱자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
왜?
네 장의 카드 중 천의 자리에서 5000을 넘길 만큼 큰 것은 5와 8뿐이고, 3은 수를 3000대에 머물게 하며 0은 애초에 네 자리 수의 맨 앞에 올 수 없다.
왜?
천의 자리 숫자가 크기를 정하므로 거기에 3이 오면 4000보다 작은 수가 되고, 0이 오면 천의 자리가 아예 없는 셈이라, 맨 앞 카드는 5나 8이어야 한다.
🧱자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
2STEP 2
천의 자리가 8인 경우 세기
8을 맨 앞에 두면 0, 5, 3이 세 자리를 6가지로 채우고, 모두 8035 이상이라 5000을 넘음.
3 × 2 × 1 = 6
서로 다른 세 카드를 세 자리에 넣으면 6가지 순서가 나오고, 8로 시작하면 무조건 5000을 넘습니다.
4.NBT.A.2Make A Systematic List3STEP 3
천의 자리가 5인 경우 세기
5를 맨 앞에 두면 0, 8, 3이 나머지를 6가지로 채우고, 가장 작은 5038도 5000을 넘음.
3 × 2 × 1 = 6, 5038 ＞ 5000
5로 시작하는 가장 작은 수인 5038도 5000을 넘기 때문에 6가지 중 빠지는 것이 하나도 없습니다.
4.NBT.A.2Make A Systematic List4STEP 4
경우 더하기
두 경우를 더합니다 — 8로 시작 6개 + 5로 시작 6개 = 12개.
6 + 6 = 12
시작하는 두 숫자가 서로 겹치지 않는 별개의 목록을 만들므로 그냥 개수를 더하면 됩니다.
4.NBT.A.2Make A Systematic List정답
12 개
6 + 6 = 12
이 카드들로 만들 수 있는 네 자리 수는 모두 18개입니다(맨 앞에 올 수 있는 0이 아닌 숫자 3가지 곱하기 배열 6가지). 그중 5나 8로 시작하는 수만 5000을 넘는데, 정확히 12개로 그럴듯한 비율입니다.
핵심 정리
가장 높은 자리를 먼저 보세요. 카드 5와 8만 수를 5000 너머로 이끌 수 있고, 그다음엔 배열만 세면 됩니다!
- 천의 자리에 올 수 있는 카드 정하기
- 천의 자리가 8인 경우 세기
- 천의 자리가 5인 경우 세기
- 경우 더하기