문제
원의 중심을 이어 만든 도형의 변은 반지름의 합이다.
크기가 서로 다른 세 원이 서로 맞닿아 있습니다. 각 원의 중심을 이으면 삼각형 ㄱㄴㄷ이 됩니다. 각 변은 맞닿은 두 원의 반지름의 합과 같습니다. 삼각형의 둘레는 44 cm이고, 변 ㄱㄴ과 ㄱㄷ은 각각 9 cm입니다. 세 원의 반지름의 합을 구해야 합니다.
측정·데이터도형
내 답
cm인가요?
조심 주어진 대로 ㄱㄴ과 ㄱㄷ만 더해서(9 + 9 = 18) 답을 구하고 싶겠지만, 그러면 반지름 ㄱ이 두 번 세어져서 18은 반지름의 합이 아니에요 -- 전체 둘레를 2로 나누어야 해요.
풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기 — 각 변은 두 반지름의 합입니다. 세 변을 모두 더하면 각 반지름이 두 번씩 세어지므로, 둘레는 반지름 합의 2배가 됩니다. 주어진 ㄱㄴ과 ㄱㄷ은 합을 구하는 데 필요하지 않은데, 반지름의 합 패턴이 이를 분명하게 보여 줍니다.
1STEP 1
각 변을 두 반지름의 합으로 나타내기
맞닿은 원은 중심 사이의 거리가 두 반지름의 합과 같아요. 각 변은 두 반지름을 더한 값이에요.
ㄱㄴ+ㄱㄷ+ㄴㄷ = (r_ㄱ+r_ㄴ)+(r_ㄱ+r_ㄷ)+(r_ㄴ+r_ㄷ)
삼각형의 각 변은 맞닿은 두 원을 잇고 있어서, 그 두 반지름을 끝과 끝으로 이어 놓은 것일 뿐입니다.
3.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
각 반지름이 두 번씩 세어짐을 알기
세 변을 더하면 각 반지름이 두 번씩 세어져요. 그래서 둘레는 세 반지름 합의 2배예요.
44 = 2 × (r_ㄱ+r_ㄴ+r_ㄷ)
'반지름마다 두 번씩'이라는 반복 패턴이 둘레 전체를 단순한 2배 관계로 바꿔 줍니다.
3.OA.D.9Solve An Easier Related Problem삼각형 ABC의 둘레는 세 반지름의 합의 두 배와 같다.
왜?
둘레는 세 변을 더한 것이고, 각 변은 그 변을 따라 맞닿은 두 원의 반지름이므로, 둘레는 이다.
왜?
둘레는 삼각형의 전체 테두리를 빈틈없이 세 변으로 나눈 것이므로, 그 변들을 다시 더하면 둘레가 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
한 변은 한 중심에서 다른 중심까지 이어지고 두 원이 그 위의 한 점에서 맞닿으므로, 그 변은 한 반지름과 다른 반지름을 이어 붙인 것으로 나뉜다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
그 합에서 각 반지름은 정확히 두 변에 나타나므로, 여섯 조각을 로 순서를 바꾸고 다시 묶어도 합은 변하지 않는다.
왜?
더하는 조각들의 순서를 바꿔도 전체 합은 변하지 않는다.
🧱덧셈의 교환법칙a에 b를 더하나 b에 a를 더하나 쌓이는 전체는 같다 — 순서는 합을 바꾸지 않는다.
왜?
어느 조각을 먼저 묶어서 더하든 전체 합은 변하지 않는다.
🧱덧셈의 결합법칙세 무더기를 더할 때 어느 둘을 먼저 합치든 결과는 같다.
왜?
각 짝 , , 는 그 반지름을 두 번 가져온 것이므로, 합치면 이다.
왜?
반지름을 자기 자신에 더하는 것은 그 반지름을 같은 크기로 두 묶음 만든 것, 즉 2배이다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
왜?
각 반지름을 따로 두 개씩 가져오는 것은 그 반지름들의 합을 두 개 가져오는 것과 같으므로, 이다.
왜?
전체 묶음의 두 배는 그 안 각 부분의 두 배로 나눌 수 있고, 다시 합칠 수도 있다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
3STEP 3
둘레를 반으로 나누기
둘레가 반지름 합의 2배이므로, 44를 2로 나눕니다.
44 ÷ 2 = 22
2배를 되돌리는 것은 2로 나누는 것일 뿐입니다.
3.OA.A.2Solve An Easier Related Problem정답
22 cm
44 ÷ 2 = 22
반지름의 합(22 cm)은 둘레 44 cm의 정확히 절반인데, 각 반지름이 두 번씩 세어지므로 맞습니다.
핵심 정리
3학년 사고만 있으면 충분해요. 각 반지름이 삼각형 둘레에서 두 번씩 나타나니까 둘레를 반으로 나누면 돼요!
- 각 변을 두 반지름의 합으로 나타내기
- 각 반지름이 두 번씩 세어짐을 알기
- 둘레를 반으로 나누기
다음은 어디로?
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