문제
두 점 사이의 거리가 같아야 길이가 같은 변을 만들 수 있다
가로 3개, 세로 3개로 고르게 놓인 9개의 점(점판) 위에서, 세 꼭짓점이 모두 점인 이등변삼각형이 모두 몇 개인지 세는 문제입니다.
도형
내 답
조심 변이 1이나 2인 직각이등변삼각형은 쉽게 찾지만, 두 변이 대각선 방향으로 기울어진 길이가 같은 이등변삼각형은 놓치기 쉽습니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 작은 점판에서 '모두 몇 개'를 세는 문제이므로 경우를 빠짐없이 나열합니다. 점판을 그리면 격자 칸 수를 세어 변의 길이를 비교할 수 있고, 길이가 같은 두 변이 만나는 꼭짓점(꼭대기)을 기준으로 묶으면 목록이 정리되어 중복으로 세는 일을 막을 수 있습니다.
1STEP 1
점에 좌표를 붙이고 변의 길이를 비교하는 방법 정하기
점을 (0,0)~(2,2)로 나타내고, 칸 수가 같은 두 선분은 길이가 같다고 봅니다.
점 (x,y), x,y ∈ {0,1,2}
4학년 학생은 점을 좌표에 나타내고, 격자 칸 수가 같은지를 세어 선분의 길이를 비교할 수 있습니다.
4.G.A.1Draw A Diagram삼각형의 두 변이 길이가 같은지를 자로 재지 않고, 두 변이 가로·세로로 같은 격자 칸만큼 움직이는지만 확인해서 판단할 수 있다.
왜?
격자 위의 두 선분이 가로로 간 칸과 세로로 간 칸이 같으면, 사실 같은 선분을 다른 자리에 놓은 것이라 길이가 같을 수밖에 없다.
왜?
두 선분이 똑같이, 예를 들어 가로 1칸 세로 2칸으로 가면, 하나를 그대로 밀어서 다른 하나 위에 정확히 겹칠 수 있다.
왜?
선분을 미는 것은 하나의 뻣뻣한 조각을 그대로 옮겨 다른 선분 위에 정확히 포개는 것이고, 정확히 포개진 둘은 길이가 같다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
한 선분은 가로 1칸 세로 2칸, 다른 선분은 가로 2칸 세로 1칸으로 가면 둘은 거울에 비친 모양이라, 하나를 뒤집으면 다른 하나 위에 정확히 포개진다.
왜?
선분을 뒤집는 것은 접는 것과 같고, 접으면 한 부분이 다른 부분 위에 정확히 포개져 길이가 그대로 유지된다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
2STEP 2
꼭대기가 모서리 점인 삼각형 세기
네 모서리 점은 각각 이등변삼각형 3개의 꼭대기(기울어진 것 포함)이므로 4 × 3 = 12개입니다.
꼭대기 점을 기준으로 정리하면 경우를 빠뜨리거나 두 번 세지 않고 깔끔하게 나열할 수 있습니다.
4.G.A.2Make A Systematic List3STEP 3
꼭대기가 변의 가운데 점이나 한가운데 점인 삼각형 세기
변의 가운데 점은 각각 4개, 한가운데 점은 8개의 꼭대기이므로 4 × 4 + 8 = 24개입니다.
길이가 같은 변을 찾는 같은 생각을 모든 점에 차례로 적용하면 빠짐없이 셀 수 있습니다.
4.G.A.2Make A Systematic List4STEP 4
이등변삼각형을 모두 더하기
정사각형 격자에는 정삼각형이 없어 겹치는 삼각형이 없으므로 12 + 24 = 36개입니다.
이등변삼각형 합계 = 36
이 격자에는 정삼각형이 없으므로 두 번 세어지는 삼각형이 하나도 없어, 꼭대기별 개수를 그냥 더하면 됩니다.
4.G.A.2Count The Complement정답
36 개
3x3 점판에서 만들 수 있는 삼각형은 모두 76개입니다(세 점을 고르는 84가지에서 한 직선 위의 세 점 8가지를 뺀 값). 그중 이등변삼각형이 36개로 절반에 조금 못 미치는 것은 그럴듯합니다. 격자 삼각형에는 부등변삼각형이 많지만, 대칭인 점판에서는 길이가 같은 변의 짝이 많이 생기기 때문입니다.
핵심 정리
이미 배운 4학년 좌표 찍기와 빠짐없이 정리해 세는 방법만 있으면 풀 수 있어요!
- 점에 좌표를 붙이고 변의 길이를 비교하는 방법 정하기
- 꼭대기가 모서리 점인 삼각형 세기
- 꼭대기가 변의 가운데 점이나 한가운데 점인 삼각형 세기
- 이등변삼각형을 모두 더하기
다음은 어디로?
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