심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2

밑을 2로 통일하고 합에서 공통인 거듭제곱을 묶어 낸다.

$\left(\frac{8^4+4^4}{8^6+4^7}\right)^2$ 을 간단히 하면 $\left(\frac{1}{a}\right)^b$ 이다. $a$ 는 소수이고 $b$ 는 자연수일 때, $b^a$ 의 값을 구하시오.

식·방정식

내 답

풀이 과정

전략 다르게 정리하기 — 8과 4는 모두 2의 거듭제곱이므로 밑을 2로 통일합니다. 그러면 분모가 분자에 2의 거듭제곱을 곱한 꼴이 되어 분수가 간단해집니다.

1STEP 1

8=2³, 4=2²과 거듭제곱의 거듭제곱 법칙을 씁니다.

8⁴=2¹², 4⁴=2⁸, 8⁶=2¹⁸, 4⁷=2¹⁴

2STEP 2

분모의 각 항은 분자의 각 항에 2⁶을 곱한 것입니다.

2¹⁸+2¹⁴=2⁶×2¹²+2⁶×2⁸=2⁶(2¹²+2⁸)

3STEP 3

분자와 분모에 똑같은 합 2¹²+2⁸이 있습니다.

(2¹²+2⁸)/(2⁶(2¹²+2⁸))=1/(2⁶)

4STEP 4

1/(2⁶)을 제곱합니다.

(1/(2⁶))²=1/(2¹²)=(1/2)¹²

5STEP 5

(1/a)^b=(1/2)¹²이면 a^b=2¹²입니다. a가 소수이므로 a=2, b=12입니다.

b^a=12²=144

정답

144

수로 확인하면 8⁴+4⁴=4096+256=4352, 8⁶+4⁷=262144+16384=278528이고 278528÷4352=64=2⁶이므로 분수는 정말 1/(2⁶)입니다.

핵심 정리

지수법칙은 합에는 통하지 않으니, 먼저 묶어서 곱으로 만들면 지수법칙이 일을 해 줍니다.

다음은 어디로?

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