심화 · 개념 하나를 원리부터 · 4단계 중 2
1 이외의 공약수가 있으면 기약분수가 아니다.
분모가 98인 진분수
중에서 기약분수는 몇 개일까요?
연산분수
내 답
풀이 과정
전략 관점 바꾸기 — 기약분수인 것을 곧바로 세는 것은 까다롭습니다. 그보다는 기약분수가 아닌 것(분자가 98과 공약수를 갖는 것)을 세어 전체에서 빼는 편이 훨씬 쉽습니다. 어떤 약수가 중요한지 알기 위해 먼저 98을 소인수로 쪼개 보는 더 쉬운 문제를 풉니다. 그다음 2의 배수와 7의 배수를 빠짐없이 세면 답이 나옵니다.
1STEP 1
분모를 소인수분해하기
98 = 2 × 7 × 7이므로, 분자가 98과 약수를 나누는 것은 2나 7의 배수일 때뿐이다.
98 = 2 × 7 × 7
수를 소인수로 쪼개는 것은 4학년 수준의 인수 찾기 기술이며, 조심해야 할 약수가 2와 7뿐임을 알려 줍니다.
4.OA.B.4Solve An Easier Related Problem2STEP 2
전체 개수 세기
분자는 1부터 97까지이므로 분수는 모두 97개입니다. 이것이 우리가 세어 나갈 전체 집단입니다.
전체 = 97
분자 1, 2, 3, ... , 97 을 차례로 나열하면 정확히 97개임이 분명해집니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List3STEP 3
2의 배수인 분자 세기
96까지 2의 배수는 96 ÷ 2 = 48개이고, 그 분수들은 모두 약분된다.
96 ÷ 2 = 48
2의 배수는 2씩 뛰어 세기로 쉽게 셀 수 있고, 모두 98과 약수 2를 공유합니다.
4.OA.B.4Change Focus Count The Complement4STEP 4
7의 배수인 분자 세기
91까지 7의 배수는 91 ÷ 7 = 13개이고, 이들은 7을 공통 약수로 갖는다.
91 ÷ 7 = 13
7씩 뛰어 세면 98보다 작은 7의 배수를 모두 나열할 수 있고, 각각 98과 약수 7을 공유합니다.
4.OA.B.4Change Focus Count The Complement5STEP 5
두 번 센 것 바로잡기 (14의 배수)
14의 배수는 두 목록에 다 들어가고, 돌려줘야 할 것은 84 ÷ 14 = 6개다.
84 ÷ 14 = 6
두 목록에 모두 들어간 수는 한 번만 빼야 하며, 14의 배수를 나열하면 6개임을 알 수 있습니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List6STEP 6
합쳐서 '기약분수가 아닌 것'의 개수 구하기
따라서 98과 약수를 나누는 분자는 48 + 13 - 6 = 55개다.
48 + 13 - 6 = 55
두 집단을 더한 뒤 겹친 부분을 한 번 빼는 것은 아무도 두 번 세지 않으려는 꼼꼼한 세기와 같습니다.
4.NF.A.1Change Focus Count The Complement98과 공통인 약수를 가진 분자의 개수는 48 더하기 13 빼기 6이다.
왜?
98은 2와 7로만 이루어져 있으므로, 어떤 분자가 98과 공통인 약수를 갖는 것은 그 분자가 2의 배수이거나 7의 배수인 경우와 정확히 같다.
왜?
1보다 큰 공통 약수는 98을 이루는 바로 그 소수들로 만들어져야 하므로 2나 7을 품고 있다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
왜?
2의 배수이면서 7의 배수인 분자는 두 목록에 모두 들어가 두 번 세어졌으므로, 그중 한 번은 돌려주어야 한다.
왜?
개수를 센다는 것은 하나하나에 셈 하나씩만 짝지어 주는 일이라, 셈을 둘 받은 것은 하나를 돌려주어야 한다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
7STEP 7
전체에서 빼기
기약분수는 남은 것들입니다: 전체 97개에서 약분되는 55개를 뺍니다. 97 - 55 = 42 입니다.
97 - 55 = 42
'약분되는' 무더기에 없는 것은 모두 기약분수이므로, 뺄셈 한 번으로 세기를 끝냅니다.
4.NF.A.1Change Focus Count The Complement정답
42
42는 97보다 작으므로 일부 분수만 기약분수라는 것과 잘 맞습니다. 분자의 절반 정도(48개)가 짝수이고 2/98 같은 짝수 분수는 당연히 약분되므로, 답이 97의 절반보다 충분히 작은 것은 합리적입니다. 확인: 1/98, 3/98, 5/98 은 기약분수(홀수이고 7의 배수가 아님)이고, 2/98, 7/98, 14/98 은 기약분수가 아닌데, 이는 우리 규칙과 정확히 일치합니다.
핵심 정리
분자와 분모가 공약수를 가지면 분수가 줄어드니, 줄어드는 것을 세어 빼면 됩니다: 97 - 55 = 42 개가 기약분수로 남아요.
- 분모를 소인수분해하기
- 전체 개수 세기
- 2의 배수인 분자 세기
- 7의 배수인 분자 세기
- 두 번 센 것 바로잡기 (14의 배수)
- 합쳐서 '기약분수가 아닌 것'의 개수 구하기
- 전체에서 빼기
다음은 어디로?
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